www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Trigonometrische Funktionen" - Trigonometrische Gleichung
Trigonometrische Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Trigonometrische Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trigonometrische Gleichung: alle Lösungen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Mo 09.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo,

folgende Funktion soll auf Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente untersucht werden:

y=sin(x)*cos(x)

Nach Ableitung habe ich:

y=cos(2x)

Gleich null setzen und nach x auflösen ergibt:

[mm] x=\bruch{arccos(0)}{2} [/mm]

[mm] x=\bruch{1}{4}\pi [/mm]

[mm] x_1k=\bruch{1}{4}\pi+k*\pi [/mm]

In meinem Buch steht, dass es aus symmetrischen Gründen nun noch folgende 2. Lösung gibt:

[mm] x_2k=\bruch{3}{4}pi+k*\pi [/mm]

Kann ich diese 2. Lösung auch irgendwie rechnerisch ermitteln? Oder ergibt sie sich einfach aus der Charakteristik der Welle...

LG und besten Dank im Voraus...

        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mo 09.12.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> folgende Funktion soll auf Kurvenpunkte mit waagerechter
> Tangente untersucht werden:
>  
> y=sin(x)*cos(x)
>  
> Nach Ableitung habe ich:
>  
> y=cos(2x)
>  
> Gleich null setzen und nach x auflösen ergibt:
>  
> [mm]x=\bruch{arccos(0)}{2}[/mm]
>  
> [mm]x=\bruch{1}{4}\pi[/mm]
>  
> [mm]x_1k=\bruch{1}{4}\pi+k*\pi[/mm]
>  
> In meinem Buch steht, dass es aus symmetrischen Gründen
> nun noch folgende 2. Lösung gibt:
>  
> [mm]x_2k=\bruch{3}{4}pi+k*\pi[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Kann ich diese 2. Lösung auch irgendwie rechnerisch
> ermitteln? Oder ergibt sie sich einfach aus der
> Charakteristik der Welle...

Du musst halt bedenken, dass für $(2x) \in [0,2\pi[$ gilt

    $\cos(2x)=0$

    $\iff$    $2x=\frac{\pi}{2}$ oder $2x=\frac{3}{2}\pi\,.$

(Beachte: $(2x) \in [0,2\pi[$ $\iff$ $x \in [0,\pi[$ - und der obige Satz wird vielleicht
verständlicher, wenn Du erstmal $z:=2x\,$ substituierst und ihn dann mit
der Variablen $z\,$ formulierst!)

Der $\arccos$ ist halt nur die Umkehrfunktion von

    $\cos$ eingeschränkt auf $[0,\,\pi]\,.$ (mögliche Notation für diese eingeschränkte Funktion: $\left.\cos\right|_{[0,\pi]}$)

Für $\sin$ oder auch $\cos$ als Funktion $\IR \to [-1,1]$ gibt es halt keine Umkehrfunktion,
man kann aber (glücklicherweise) jede der beiden Funktionen auf einem
(beidseitig abgeschlossenen) Intervall der Länge $\pi$ umkehren; denn solche
Einschränkungen liefern dann eine bijektive Funktion!

Wozu man sich beim Sinus bzw. Kosinus (meist) entscheidet:

    []das kannst Du hier (klick!) bei Wiki nachlesen!

P.S. Ist Dir der Rest klar? Das folgt (grob) so:

    1.: [mm] $2*x_{1,k}=\frac{1}{2}\pi+k*2\pi$ [/mm]

    2.: [mm] $2*x_{2,k}=\frac{3}{2}\pi+k*2\pi$ [/mm]

jeweils mit $k [mm] \in \IZ\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Mo 09.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo Marcel,

das muss ich erst mal sacken lassen... Aber danke für die schnelle und ausführliche Antwort...

LG

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mo 09.12.2013
Autor: Marcel

Hallo Sonic,

> Hallo Marcel,
>  
> das muss ich erst mal sacken lassen...

leider kann es ein Problem sein, dass in der Schule manchmal nicht so
detailliert auf die "Umkehrbarkeit einer Funktion" eingegangen wird.
Da fliegen anstatt der Begriffe "bijektiv" (oder wenigstens sollte man
"injektiv" verwenden) Begriffe wie "eineindeutig" umher - wobei da sogar
im universitären Bereich dieser Begriff manchmal für injektiv und manchmal
für bijektiv stehen kann...

> Aber danke für die schnelle und ausführliche Antwort...

Frag' gegebenenfalls auch die Begriffe nach, wenn sie Dir unklar sind.
Ansonsten: Gern geschehen!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Trigonometrische Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de