www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - Trivialität-Cauchy Ungleichung
Trivialität-Cauchy Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trivialität-Cauchy Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Mi 16.09.2009
Autor: oby

Aufgabe
Beweis der Cauchy-Ungleichung

Hallo Matheraum.
Komm mal wieder nicht weiter und brauche eure Hilfe. Und zwar muss ich gerade den Beweis zur Cauchy-Ungleichung (hat nix mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung zutun glaub ich, deshalb ist es schwer da was im Netz zu finden). Also da steht in meinem Skript:
Cauchy-Ungleichung: Seien X,Y Zufallsgrößen mit [mm] E(X),E(Y)<\infty [/mm] , [mm] \Rightarrow [/mm] E(|XY|) [mm] \leq [/mm] E(X)E(Y) .
Beweis: Sei [mm] E(X^2),E(Y^2)>0 [/mm] (sonst klar). (DAS verstehe ich)
[mm] \overline{X}:= \bruch{X}{\wurzel{E(X^2)}} [/mm] ,ebenso:
[mm] \overline{Y}:= \bruch{Y}{\wurzel{E(Y^2)}} [/mm]

[mm] 2|\overline{X}\overline{Y}| \leq \overline{X}^2 \overline{Y}^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow 2E(|\overline{X}\overline{Y}|) \leq E(\overline{X}^2) [/mm] + [mm] E(\overline{Y}^2) [/mm]  (SOWEIT noch alles klar)
=1+1=2 (Nach langem Ringen auch das verstanden und nun mein Problem:)  [mm] "\Rightarrow" [/mm] Behauptung . Fertig.
Also fürr mich ist das ganz und gar nicht trivial, offensichtlich oder sonst was. Solche Sachen find ich immer sehr frustrierend und demotivierend. Ich hoffe mir kann da jemand helfen.
Vielen dank schonmal, Oby

        
Bezug
Trivialität-Cauchy Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mi 16.09.2009
Autor: luis52

Moin oby,

du musst nicht lange ueberlegen, denn die Ungleichung ist falsch: Sind
$X_$ und $Y_$ normalverteilt mit [mm] $\operatorname{E}[X]=1$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[Y]=-1$, [/mm] so ist sie nicht erfuellt.

Oder werden uns die genauen Voraussetzungen noch in homoeopathischen
Dosen serviert? :-(


vg Luis    

Bezug
        
Bezug
Trivialität-Cauchy Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Mi 16.09.2009
Autor: vivo

Hallo,

also ich glaube du hast die Gleichung nicht richtig aufgeschrieben, wenn dann muss es so lauten:

[mm]|E(XY)| \le \wurzel{E(X^2)E(Y^2)}[/mm]

dies ist ein Spezialfall von (nämlich wenn die Erwartungswerte der beiden ZV's den Wert 0 haben):

[mm]Cov(X,Y)^2 \le Var(X)Var(Y) [/mm]

Beweis:

1. Fall [mm]Var(Y)=0[/mm] klar!

2. Fall [mm]Var(Y)>0[/mm]

sei [mm]\alpha=-\bruch{Cov(X,Y)}{Var(Y)}[/mm]

(beachte, dass Varianzen immer größer gleich null sind)

[mm]0 \le Var(X+\alpha Y)Var(Y) =(Var(X)+2 \alpha Cov(X,Y)+\alpha^2 Var(Y))Var(Y)=Var(X)Var(Y)-Cov(X,Y)^2[/mm]

gruß

Bezug
        
Bezug
Trivialität-Cauchy Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mi 16.09.2009
Autor: oby

Danke schonmal für die Antworten, ich habe da tatsächlich ein Quadrat vergessen, es muss lauten:
[mm] (E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2). [/mm]
Naja jedenfalls hab ich ja zum Schluss
[mm] E|\overline{X}\overline{Y}| \leq [/mm] 1
und ich muss nun irgendwie daraus schlussfolgern können, dass dann
[mm] (E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2) [/mm] gilt.
[mm] E|\overline{X}\overline{Y}|=E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)}\wurzel{E(Y^2)}}| [/mm] = [mm] E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)E(Y^2)}}| [/mm] .Aber wie komm ich dann hier weiter?? Warum dürfte ich denn hier den Erwartungswert bzgl des Bruches teilen? Dann wär ich ja fertig, denn es gilt ja meines Wissens nicht, dass [mm] E(\bruch{A}{B})=\bruch{E(A)}{E(B)} [/mm] .Das gilt doch nur falls A,B unabhängig sind. Wo ist mein Denkfehler?


Bezug
                
Bezug
Trivialität-Cauchy Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:34 Do 17.09.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Danke schonmal für die Antworten, ich habe da tatsächlich
> ein Quadrat vergessen, es muss lauten:
>  [mm](E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2).[/mm]
>  Naja jedenfalls hab ich ja
> zum Schluss
>  [mm]E|\overline{X}\overline{Y}| \leq[/mm] 1
> und ich muss nun irgendwie daraus schlussfolgern können,
> dass dann
>   [mm](E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2)[/mm] gilt.

Ja.

> [mm]E|\overline{X}\overline{Y}|=E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)}\wurzel{E(Y^2)}}|[/mm]
> = [mm]E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)E(Y^2)}}|[/mm] .Aber wie komm ich
> dann hier weiter??

Nun, du benutzt dass der Erwartungswert [mm] $\IR$-linear [/mm] ist und dass [mm] $\frac{1}{\sqrt{E(X^2)} \sqrt{E(Y^2)}}$ [/mm] eine Konstante aus [mm] $\IR$ [/mm] ist.

> Warum dürfte ich denn hier den
> Erwartungswert bzgl des Bruches teilen? Dann wär ich ja
> fertig, denn es gilt ja meines Wissens nicht, dass
> [mm]E(\bruch{A}{B})=\bruch{E(A)}{E(B)}[/mm] .

Noe, das gilt auch nicht. Aber hier ist das $B$ nicht irgendeine Zufallsvariable, sondern eine Konstante!

> Das gilt doch nur falls A,B unabhängig sind.

Bist du dir sicher, dass das in dem Fall gilt? Dann muesste ja $E(1/X) = 1/E(X)$ sein, und das kommt mir ziemlich unwahr vor.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Trivialität-Cauchy Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:04 Do 17.09.2009
Autor: luis52


>  
> Bist du dir sicher, dass das in dem Fall gilt? Dann muesste
> ja [mm]E(1/X) = 1/E(X)[/mm] sein, und das kommt mir ziemlich unwahr
> vor.
>  

Gilt nicht.

vg Luis

Bezug
                                
Bezug
Trivialität-Cauchy Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:55 Do 17.09.2009
Autor: felixf

Hallo zusammen,

> > Bist du dir sicher, dass das in dem Fall gilt? Dann muesste
> > ja [mm]E(1/X) = 1/E(X)[/mm] sein, und das kommt mir ziemlich unwahr
> > vor.
>
> Gilt nicht.

wen's interessiert, ein einfaches Gegenbeispiel (ich haette gestern ein paar Sekunden laenger nachdenken sollen ;-) ):

$P(X = 1) = 1/2 = P(X = 2)$

dann gilt $E(X) = 3/2$ und $E(1/X) = 3/4 [mm] \neq [/mm] 2/3$.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de