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Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

Aufgabe
Für die Zufallsvariablen $ [mm] X_{1},...,X_{9} [/mm] $ gilt
$ [mm] \mathcal{V}(X_{i})= [/mm] 2 $ und $ Cov [mm] (X_{i},X_{j})= [/mm] 1 $ mit i [mm] \not= [/mm] j
Schätze die Wkeit für das Ereignis, dass die Summe [mm] S_{9} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{9} X_{i} [/mm] weiter als 10 von ihrem EW entfernt ist mithilfe der Tschebychewungleichung nach oben ab.

$ [mm] \mathbb{P}(|45-\mathbb{E}(X_{i})|\ge\10)\le\frac{\mathbb{V}(X_{i})}{10^2}. [/mm] $

Bis dahin ist ja nicht schwer. Aber was ist mit der Varianz?
[mm] $\mathcal{V}(X_{i})= [/mm] 2$
[mm] $\mathcal{V}(\summe_{i=1}^{9}X_{i})$ [/mm]
$= [mm] \summe_{i=1}^{9}\mathcal{V}(X_{i})$ [/mm]
= 18?

und was soll ich mit der Covarianz?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Fr 10.10.2014
Autor: blascowitz


> Für die Zufallsvariablen [mm]X_{1},...,X_{9}[/mm] gilt
>  [mm]\mathcal{V}(X_{i})= 2[/mm] und [mm]Cov (X_{i},X_{j})= 1[/mm] mit i [mm]\not=[/mm]
> j
> Schätze die Wkeit für das Ereignis, dass die Summe [mm]S_{9}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{9} X_{i}[/mm] weiter als 10 von ihrem EW
> entfernt ist mithilfe der Tschebychewungleichung nach oben
> ab.
>  
> [mm]\mathbb{P}(|45-\mathbb{E}(X_{i})|\ge\10)\le\frac{\mathbb{V}(X_{i})}{10^2}.[/mm]
>

Woher kommen die 45? Du sollst untersuchen wie sich
[mm] $P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)$ [/mm]
nach oben durch die Tschbycheff-Ungleichung abschätzen lässt. Es gilt ja
[mm] $P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)\leq\frac{1}{10^2}\cdot Var\left(S_{9}\right)$ [/mm]

> Bis dahin ist ja nicht schwer. Aber was ist mit der
> Varianz?
> [mm]\mathcal{V}(X_{i})= 2[/mm]
>  [mm]\mathcal{V}(\summe_{i=1}^{9}X_{i})[/mm]

Du darfst die Varianz nicht einfach in die Summe ziehen, dass funktioniert nur bei unkorrelierten Zufallsvariablen. Sind deine [mm] $X_{i}$ [/mm] unkorreliert?

>  [mm]= \summe_{i=1}^{9}\mathcal{V}(X_{i})[/mm]
>  = 18?
>  
> und was soll ich mit der Covarianz?
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Berechne die Varianz von der ZV [mm] $\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}$ [/mm] richtig!

Viele Grüße
Blasco

Bezug
                
Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

Hallo,


> Woher kommen die 45?

ah sry vertan,

Du sollst untersuchen wie sich

>  [mm]P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)[/mm]
>  nach oben durch die Tschbycheff-Ungleichung abschätzen
> lässt. Es gilt ja
>  
> [mm]P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)\leq\frac{1}{10^2}\cdot Var\left(S_{9}\right)[/mm]
>  
> > Bis dahin ist ja nicht schwer. Aber was ist mit der
> > Varianz?
> > [mm]\mathcal{V}(X_{i})= 2[/mm]
>  >  
> [mm]\mathcal{V}(\summe_{i=1}^{9}X_{i})[/mm]
>  Du darfst die Varianz nicht einfach in die Summe ziehen,
> dass funktioniert nur bei unkorrelierten Zufallsvariablen.
> Sind deine [mm]X_{i}[/mm] unkorreliert?

Nein :(


V(S)=(S-E(S))² = E(S²) - E(S)² = 2  wie komm ich da weiter?



Bezug
                        
Bezug
Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Fr 10.10.2014
Autor: DieAcht


> V(S)=(S-E(S))² = E(S²) - E(S)² = 2  wie komm ich da weiter?

Wie kommst du denn auf die [mm] $2\$ [/mm] am Ende?

Tipp: Benutze []Varianz von Summen von Zufallsvariablen.

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Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

achso stimmt, das gilt ja nur für V(Xi).... :/

wie mach ich denn dann weiter?

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Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Fr 10.10.2014
Autor: blascowitz

Hallo,

dieAcht hat dir in seinem letzten Post den Tipp gegeben, dass du mal bei Wiki schauen sollst, wie man die Varianz von einer Summe von Zufallsvariablen ausrechnet.

Viele Grüße
Blasco

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Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

Oh, das habe ich überlesen.

Also ist das Ergebnis:

$ [mm] \mathbb{P}(|S_{9}-\mathbb{E}(S_{9})|\ge\ 10)\le\frac{3}{10^2}= [/mm] 0,03. $


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Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Fr 10.10.2014
Autor: blascowitz

Hallo,

wie kommst du auf 3 als Ergebnis?

Wenn du den Artikel gelesen hast, den dir dieAcht empfohlen hat, dann weißt du jetzt, dass
[mm] $Var\left(\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{9}Var\left(X_{i}\right)$+\sum\limits_{i\not=j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)$ [/mm]
ist.

Überprüfe nochmal deine Rechnung. Falls etwas unklar ist, überprüfen wir gerne auch den Rechenweg :)

Viele Grüße
Blasco
Die

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Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

Hallo,

ok, dann kann man das wohl nicht so machen... :/

> [mm]$Var\left(\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{9}Var\left(X_{i}\right)$+\sum\limits_{i\not=j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right) = \sum\limits_{i=1}^{9}2\right)$+\sum\limits_{i\not=j}\left1\right =3 $[/mm]

oder ist das dann 9*Var +1 =19?


Bezug
                                                        
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Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Fr 10.10.2014
Autor: DieAcht

[mm]$Var\left(\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{9}Var\left(X_{i}\right)$+\sum\limits_{i\not=j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right) = \sum\limits_{i=1}^{9}2\right)$+\sum\limits_{i\not=j}\left1\right =3 $[/mm]
>
> oder ist das dann 9*Var +1 =19?

[haee]

Bei mir ist allein schon

      [mm] \sum_{i=1}^{9}2=18. [/mm]

Bezug
                                                                
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Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

also kommt dann insgesamt 19 raus ?


Bezug
                                                                        
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Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Fr 10.10.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> also kommt dann insgesamt 19 raus ?

Nein, berechne nochmal in Ruhe

      [mm] \sum_{i\not=j}^{9}Cov(X_i,X_j). [/mm]


Was studierst du eigentlich? Bist du wirklich im Hauptstudium?


Gruß
DieAcht

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Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

ich habs nicht so mit summen...

da stand keine begrenzung von der summe, dewegen hab ich da die 9 unterschlagen. Dann sind es natürlich 27.

Danke für die Hilfe

Bezug
                                                                                        
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Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09

Hallo Bane77!


> ich habs nicht so mit summen...
>  
> da stand keine begrenzung von der summe, dewegen hab ich da
> die 9 unterschlagen. Dann sind es natürlich 27.

[notok]

Der Ausdruck

     [mm] $\sum_{i\not=j}Cov(X_i,X_j)$ [/mm]

ist hier eine Kurzschreibweise dafür, dass für jedes Paar $(i,j)$ mit [mm] $i,j\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] und [mm] $i\not=j$ [/mm] die Kovarianz von [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_j$ [/mm] (also die Zahl 1) addiert wird.

Wie viele solche Paare $(i,j)$ gibt es?


Viele Grüße
Tobias


Bezug
                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

12?

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Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

ne 8 :D

und dann müsst ich noch mal 2 nehmen oder?

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09


> ne 8 :D
>  
> und dann müsst ich noch mal 2 nehmen oder?

Nein.


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

    [mm] \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)= \sum_{i,j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) [/mm] + [mm] \sum_{i \neq j} \operatorname{Cov}(X_i,X_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j). [/mm]

also starte ich mit i doch bei 1 bis 8 und bei j mit 2 bis 9, dann komme ich auf 8 Paare und die muss ich dann noch mit 2 multiplizieren.

wieso ist das falsch?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09


>     [mm]\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)= \sum_{i,j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j)[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)[/mm] + [mm]\sum_{i \neq j} \operatorname{Cov}(X_i,X_j)[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j).[/mm]

Ja, dies gilt für quadratisch integrierbare Zufallsgrößen [mm] $X_1,\ldots,X_n$. [/mm]

Beachte, dass i und j bei den verschiedenen Summen über unterschiedliche Werte laufen.
Die verschiedenen Summen haben so auch verschiedene Anzahlen an Summanden.


Du möchtest also offensichtlich nun [mm] $2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm] für die Situation unserer Aufgabe ($n=9$, [mm] $Cov(X_i,X_j)=1$ [/mm] für [mm] $i\not=j$) [/mm] bestimmen.

Dazu fragst du dich zunächst, aus wie vielen Summanden die Doppelsumme [mm] $\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm] besteht.

> also starte ich mit i doch bei 1 bis 8

Ja.

> und bei j mit 2 bis
> 9,

Nein.
Für $i=1$ läuft $j$ von $2$ bis $9$ ($8$ Summanden).
Für $i=2$ läuft $j$ nur von $3$ bis $9$ (weitere $7$ Summanden).
Für $i=3$ ...
...


> dann komme ich auf 8 Paare

Wie das?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

uff, ok, dann sind das jetzt 36 ...

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09


> uff, ok, dann sind das jetzt 36 ...

[ok]

Genau, die Doppelsumme [mm] $\sum_{i=1}^{9-1}\sum_{j=i+1}^9\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm] hat genau 8+7+6+5+4+3+2+1=36 Summanden.


(Einfacher wäre es gewesen, die Anzahl der Summanden in [mm] $\sum_{i\not=j}Cov(X_i,X_j)$ [/mm] zu bestimmen (also die Anzahl der Paare (i,j) mit [mm] $i,j\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] und [mm] $i\not=j$): [/mm] Es sind $9*8=72$, denn es gibt hier $9$ mögliche Werte für $i$ und bei jeder Wahl von $i$ dann noch 8 mögliche Werte für $j$.)

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Fr 10.10.2014
Autor: Bane77

achso stimmt :)

Vielen Dank :)

Dann kommen wir auf ein Endergebnis von 0,9

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09


> Dann kommen wir auf ein Endergebnis von 0,9  

[ok]

Darauf komme ich auch als obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit aus der Aufgabenstellung.

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Sa 11.10.2014
Autor: Bane77

Aufgabe
Hallo Tobit,

Wie wäre das eigentlich, wenn ich die Aufgabe nicht mit Tschebychew sondern mit dem Zentralen Grenzwert lösen will?

also [mm] X_{1},...X_{n} [/mm] i.i.d. und Var(x)=1
Die Summe soll diesmal mehr als 5 vom EW entfernt sein. [mm] \phi [/mm] (1.66) = 90%

also gesucht ist
[mm] \mathcal{P}(S__{9} \ge [/mm] 5)

= [mm] \mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma} [/mm]
= [mm] \mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3} [/mm]

wie komm ich dann weiter?
also [mm] \mu [/mm] müsste ja 0 sein, dann komm ich auf die 1.66

Kannst du mir helfen?

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:13 So 12.10.2014
Autor: tobit09


> Wie wäre das eigentlich, wenn ich die Aufgabe nicht mit
> Tschebychew sondern mit dem Zentralen Grenzwert lösen
> will?
>  
> also [mm]X_{1},...X_{n}[/mm] i.i.d. und Var(x)=1
>  Die Summe soll diesmal mehr als 5 vom EW entfernt sein.
> [mm]\phi[/mm] (1.66) = 90%

Bitte poste die vollständige Aufgabenstellung wörtlich.
Vorher kann ich leider nicht sinnvoll helfen.

Falls [mm] $\phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilungsfunktion bezeichnen soll, stimmt [mm] $\phi(1.66)\approx90\%$ [/mm] nicht.


>  also gesucht ist
> [mm]\mathcal{P}(S__{9} \ge[/mm] 5)

Ist $n=9$?

Gesucht ist vermutlich [mm] $P(|S_n-ES_n|>5)$. [/mm]


> = [mm]\mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma}[/mm]

Das Zeichen $)$ steht an der falschen Stelle.

Erkläre, was du mit [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] meinst.


> = [mm]\mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3}[/mm]


> also [mm]\mu[/mm] müsste ja 0 sein, dann komm ich auf die 1.66

Warum sollte [mm] $\mu=0$ [/mm] gelten?


Ich kenne mich nicht aus, unter welchen Umständen eine Normalapproximation bei nicht notwendig binomialverteilten Zufallsgrößen sinnvoll ist.
Z.B. für $n=1$ wäre sie es hier sicher nicht.
Der Beweis einer oberen Schranke für eine Wahrscheinlichkeit lässt sich mit einer solchen Approximation vermutlich nicht erbringen.

Spricht etwas dagegen, erneut Tschebyscheff zu verwenden?

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 So 12.10.2014
Autor: Bane77

Hallo Tobit09,

>  Bitte poste die vollständige Aufgabenstellung wörtlich.
>  Vorher kann ich leider nicht sinnvoll helfen.

" Andere ZVen [mm] Y_{1},...,Y_{9} [/mm] seien i.i.d. mit Varianz 1. Approximiere die Wkeit für das Ereignis, dass
[mm] S_9 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{9} Y_{i} [/mm] mehr als 5 vom EW enfernt ist mithilfe des ZGWS. [mm] \phi [/mm] (1.66)=90% "


Wenn ich dann den ZGWS anwende, erhalte ich doch

[mm] \mathcal{P}(S__{9} \ge [/mm] 5)= [mm] \mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3}\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3}) [/mm]

wenn das mit n gegen unendlich gegen [mm] \phi(1.66) [/mm] konvergieren soll, muss [mm] \mu=0 [/mm] sein, da 5/3 [mm] \approx [/mm] 1,66 aber warum weiß ich auch nicht, wenn es keine S-Normalverteilung ist mit (0,1)


Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 So 12.10.2014
Autor: Bane77

Die Varianz 1 bezieht sich doch auf die [mm] Y_{i} [/mm] oder?
und sie sind identisch zu den [mm] X_{i} [/mm] verteilt.
Hab ich das richtig verstanden?

Bezug
                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:12 Mo 13.10.2014
Autor: tobit09


> Die Varianz 1 bezieht sich doch auf die [mm]Y_{i}[/mm] oder?

Ja.


>  und sie sind identisch zu den [mm]X_{i}[/mm] verteilt.
>  Hab ich das richtig verstanden?

Nein. (Die [mm] $X_i$ [/mm] hatten Varianz 2, die [mm] $Y_i$ [/mm] haben Varianz 1.)

[mm] "$Y_1,\ldots,Y_9$ [/mm] i.i.d." bedeutet "die Familie der [mm] $Y_1,\ldots,Y_9$ [/mm] ist stochastisch unabhängig und die Zufallsgrößen [mm] $Y_1,\ldots,Y_9$ [/mm] besitzen untereinander alle die gleiche Verteilung".

Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
Tschebychew: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:16 Mo 13.10.2014
Autor: tobit09


> " Andere ZVen [mm]Y_{1},...,Y_{9}[/mm] seien i.i.d. mit Varianz 1.
> Approximiere die Wkeit für das Ereignis, dass
> [mm]S_9[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{9} Y_{i}[/mm] mehr als 5 vom EW enfernt ist
> mithilfe des ZGWS. [mm]\phi[/mm] (1.66)=90% "

Danke.

Was bedeutet [mm] $\phi$ [/mm] bei euch?
Soll [mm] $\phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnen?
Dann gilt [mm] $\phi(1,66)\approx95\%$. [/mm]

Es geht jetzt also nicht um Abschätzung, sondern um Approximation (wobei ich mir unsicher bin, ob diese Approximation bei nur 9 Zufallsgrößen sinnvoll ist).


> Wenn ich dann den ZGWS anwende, erhalte ich doch
>  
> [mm]\mathcal{P}(S__{9} \ge[/mm] 5)

Gesucht ist nicht [mm] $P(S_9\ge [/mm] 5)$, sondern [mm] $P(|S_9-ES_9|>5)$. [/mm]

> = [mm]\mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3}\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3})[/mm]

Du meinst offenbar: [mm] $\mu:=EY_1$. [/mm]

> wenn das mit n gegen unendlich gegen [mm]\phi(1.66)[/mm]
> konvergieren soll,

Das tut es im Allgemeinen nicht.

> muss [mm]\mu=0[/mm] sein, da 5/3 [mm]\approx[/mm] 1,66
> aber warum weiß ich auch nicht, wenn es keine
> S-Normalverteilung ist mit (0,1)



Gesucht ist wie gesagt [mm] $P(|S_9-ES_9|>5)$. [/mm]

Sei [mm] $s:=\wurzel(Var(S_9))=\ldots>0$. [/mm]

Es gilt

     [mm] $P(|S_9-ES_9|>5)=P(\frac{|S_9-ES_9|}{s}>\frac{5}{s})=P(|Z|>c)=P(\{Z<-c\}\cup\{Z>c\})=P(Z\in(-\infty,-c))+P(Z\in(c,\infty))=P^Z((-\infty,c))+P^Z((c,\infty))$ [/mm]

mit [mm] $Z:=\frac{S_9-ES_9}{s}$ [/mm] und [mm] $c:=\frac{5}{s}$. [/mm]

Argumentiere nun mit dem ZGWS (Wie habt ihr ihn genau formuliert?), dass es sinnvoll sei, $Z$ als näherungsweise standardnormalverteilt anzunehmen.

In diesem Sinne gilt dann

      [mm] $P^Z((-\infty,c))+P^Z((c,\infty))\approx N((-\infty,c))+N((c,\infty))$, [/mm]

wobei $N$ die Standardnormalverteilung bezeichne.

Unter Berücksichtigung der Symmetrie der Standardnormalverteilung gilt weiter

      [mm] $N((-\infty,c))+N((c,\infty))=N(-(-\infty,c))+N((c,\infty))=N((c,\infty))+N((c,\infty))=2*N((c,\infty))$. [/mm]

WENN [mm] $\phi$ [/mm] bei euch tatsächlich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet, berechnet sich [mm] $N((c,\infty))$ [/mm] zu

     [mm] $N((c,\infty))=N(\IR\setminus(-\infty,c])=N(\IR)-N((-\infty,c])=1-\phi(c)$. [/mm]


Insgesamt haben wir also:

     [mm] $P(|S_9-ES_9|>5)\approx 2*(1-\phi(c))$. [/mm]

Berechne nun $s$ (unter Berücksichtigung der stochastischen Unabhängigkeit von [mm] $Y_1,\ldots,Y_9$), [/mm] damit $c$ und schließlich den Näherungswert für [mm] $P(|S_0-ES_9|>5)$. [/mm]

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Tschebychew: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09


> 12?

Nein, wie kommst du auf diese Zahl?


Wir suchen die Anzahl der Paare $(i,j)$ mit [mm] $i,j\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$. [/mm]


Ich schreibe mal ein paar solche Paare auf:

(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(1,7)
(1,8)
(1,9)
(2,1)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(2,7)
(2,8)
(2,9)
(3,1)
...
usw.

Wie viele solche Paare mit $i=1$ gibt es?
Wie viele solche Paare mit $i=2$ gibt es?
Wie viele solche Paare mit $i=3$ gibt es?
...
Wie viele solche Paare mit $i=9$ gibt es?

Wie viele Paare sind es also insgesamt?


Alternativer Weg:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein [mm] $i\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] zu wählen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es nach der Wahl von $i$, ein [mm] $j\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] mit [mm] $j\not=i$ [/mm] zu wählen?

Also?

Bezug
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