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Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Beweisen Sie folgende Eigeschnaft des Tschebyscheff-Polynoms [mm] T_{k}(x):
[/mm]
- Für gerades k ist [mm] T_{k}(x) [/mm] gerade, also [mm] T_{k}(x)=T_{k}(-x), [/mm] für ungerades k ist [mm] T_{k}(x) [/mm] ungerade, also [mm] T_{k}(x)=-T_{k}(-x)
[/mm]
Meine Tipps dazu:
Zeige es durch vollständige Induktion:
Induktionsverankerung: Zeige das [mm] T_{1}(x),T_{3}(x) [/mm] ungerade ist und [mm] T_{2}(x) [/mm] gerade ist.
Induktionsschritt: Zeige dass wen [mm] T_{k-2}(x) [/mm] ungerade und [mm] T_{k-1}(x) [/mm] gerade ist, dann [mm] T_{k}(x) [/mm] ungerade sein muss und dass wenn [mm] T_{k-2}(x) [/mm] gerade und [mm] T_{k-1}(x) [/mm] ungerade ist, dann [mm] T_{k}(x) [/mm] gerade sein muss.
Aus der Veankerung und dem Induktionsschritt folgt nun der Beweis.
Also:
Induktionsverankerung:
Es gilt:
[mm] T_{k}(x)=2*x*T_{k-1}(x)-T_{k-2}
[/mm]
[mm] T_{0}(x)=1
[/mm]
[mm] T_{1}(x)=x
[/mm]
[mm] T_{2}(x)=2x^{2}-1
[/mm]
[mm] T_{3}(x)=4x^{3}-3x
[/mm]
[mm] T_{1}(x)=-T_{1}(-x)
[/mm]
x= -(-x)
x=x
[mm] T_{2}(x)=T_{1}(-x)
[/mm]
[mm] 2x^{2}-1= 2(-x)^{2}-1
[/mm]
[mm] 2x^{2}-1=2x^{2}-1
[/mm]
[mm] T_{3}(x)=-T_{3}(-x)
[/mm]
[mm] 4x^{3}-3x= -(4(-x^{3})-3(-x))
[/mm]
[mm] 4x^{3}-3x=-(-4x^{3}+3x)
[/mm]
[mm] 4x^{3}-3x=4x^{3}-3x
[/mm]
Bis hier ist mir alles klar. Doch nun der Induktionsschritt:
[mm] T_{k}(x): [/mm] ungerade [mm] \Rightarrow T_{k}(x)=-(T_{k}(-x))
[/mm]
[mm] T_{k-1}(x): [/mm] gerade [mm] \Rightarrow T_{k-1}(x)=T_{k-1}(-x)
[/mm]
[mm] T_{k-2}(x): [/mm] ungerade [mm] \Rightarrow T_{k-2}(x)=-(T_{k-2}(-x))
[/mm]
Und nun???
Liebe Grüsse
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> Hallo zusammen
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> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
> Beweisen Sie folgende Eigeschnaft des
> Tschebyscheff-Polynoms [mm]T_{k}(x):[/mm]
> - Für gerades k ist [mm]T_{k}(x)[/mm] gerade, also
> [mm]T_{k}(x)=T_{k}(-x),[/mm] für ungerades k ist [mm]T_{k}(x)[/mm] ungerade,
> also [mm]T_{k}(x)=-T_{k}(-x)[/mm]
>
> Meine Tipps dazu:
> Zeige es durch vollständige Induktion:
> Induktionsverankerung: Zeige das [mm]T_{1}(x),T_{3}(x)[/mm]
> ungerade ist und [mm]T_{2}(x)[/mm] gerade ist.
> Induktionsschritt: Zeige dass wen [mm]T_{k-2}(x)[/mm] ungerade und
> [mm]T_{k-1}(x)[/mm] gerade ist, dann [mm]T_{k}(x)[/mm] ungerade sein muss und
> dass wenn [mm]T_{k-2}(x)[/mm] gerade und [mm]T_{k-1}(x)[/mm] ungerade ist,
> dann [mm]T_{k}(x)[/mm] gerade sein muss.
>
> Aus der Veankerung und dem Induktionsschritt folgt nun der
> Beweis.
>
> Also:
> Induktionsverankerung:
> Es gilt:
> [mm]T_{k}(x)=2*x*T_{k-1}(x)-T_{k-2}[/mm]
> [mm]T_{0}(x)=1[/mm]
> [mm]T_{1}(x)=x[/mm]
> [mm]T_{2}(x)=2x^{2}-1[/mm]
> [mm]T_{3}(x)=4x^{3}-3x[/mm]
>
> [mm]T_{1}(x)=-T_{1}(-x)[/mm]
> x= -(-x)
> x=x
> [mm]T_{2}(x)=T_{1}(-x)[/mm]
> [mm]2x^{2}-1= 2(-x)^{2}-1[/mm]
> [mm]2x^{2}-1=2x^{2}-1[/mm]
> [mm]T_{3}(x)=-T_{3}(-x)[/mm]
> [mm]4x^{3}-3x= -(4(-x^{3})-3(-x))[/mm]
> [mm]4x^{3}-3x=-(-4x^{3}+3x)[/mm]
> [mm]4x^{3}-3x=4x^{3}-3x[/mm]
>
> Bis hier ist mir alles klar. Doch nun der
> Induktionsschritt:
> [mm]T_{k}(x):[/mm] ungerade [mm]\Rightarrow T_{k}(x)=-(T_{k}(-x))[/mm]
>
> [mm]T_{k-1}(x):[/mm] gerade [mm]\Rightarrow T_{k-1}(x)=T_{k-1}(-x)[/mm]
>
> [mm]T_{k-2}(x):[/mm] ungerade [mm]\Rightarrow T_{k-2}(x)=-(T_{k-2}(-x))[/mm]
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> Und nun???
Hallo,
im Induktionsschluß nimmst Du an, daß [mm] T_{k-2} [/mm] ungerade und [mm] T_{k-1} [/mm] gerade. (Induktionsannahme)
Nun zeigst Du (rechnest Du vor), daß dann [mm] T_k [/mm] ungerade ist.
Dazu mußt Du natürlich wissen, wie man [mm] T_k [/mm] schreiben kann mithilfe von [mm] T_{k-1} [/mm] und [mm] T_{k-2}.
[/mm]
Wenn Du das hast, kommt die Induktionsvoraussetzung zum Einsatz.
Der zweite der zu zeigenden Fälle geht entsprechend.
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüsse
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???
Bei mir funktioniert im momentan gar nichts!
Also ich weiss,
dass [mm] T_{k-2}(x) [/mm] ungerade ist:
[mm] T_{k-2}(x)=-T_{k-2}(-x)
[/mm]
und dass [mm] T_{k-1}(x) [/mm] gerade ist:
[mm] T_{k-1}(x)=T_{k-1}(-x)
[/mm]
Nun muss ich [mm] T_{k}(x) [/mm] anhand von [mm] T_{k-2}(x) [/mm] & [mm] T_{k-1}(x) [/mm] darstellen:
[mm] T_{k}(x)=2x [/mm] * [mm] T_{k-1}(x) [/mm] - [mm] T_{k-2}(x)
[/mm]
Aber so habe ich doch nichts gezeigt?!!!!!!
Liebe Grüsse
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> ???
> Bei mir funktioniert im momentan gar nichts!
>
> Also ich weiss,
> dass [mm]T_{k-2}(x)[/mm] ungerade ist:
> [mm]T_{k-2}(x)=-T_{k-2}(-x)[/mm]
> und dass [mm]T_{k-1}(x)[/mm] gerade ist:
> [mm]T_{k-1}(x)=T_{k-1}(-x)[/mm]
>
> Nun muss ich [mm]T_{k}(x)[/mm] anhand von [mm]T_{k-2}(x)[/mm] & [mm]T_{k-1}(x)[/mm]
> darstellen:
> [mm]T_{k}(x)=2x[/mm] * [mm]T_{k-1}(x)[/mm] - [mm]T_{k-2}(x)[/mm]
>
> Aber so habe ich doch nichts gezeigt?!!!!!!
Hallo,
bisher nicht.
Du willst doch zeigen, daß [mm] T_{k}(x) [/mm] ungerade ist.
Rechne nun doch mal [mm] -T_k(-x) [/mm] aus und schau nach, ob es dasselbe ist wie [mm] T_k(x).
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüsse
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Also bei mir ist das nicht das selbe, denn:
[mm] T_{k}(x)=2*x*T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)\not=-2*x*T_{k-1}(-x)+T_{k-2}(-x)
[/mm]
Oder wie kann ich die - aus der () nehmen??
Liebe Grüsse
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> Also bei mir ist das nicht das selbe, denn:
>
> [mm]T_{k}(x)=2*x*T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)\not=-2*x*T_{k-1}(-x)+T_{k-2}(-x)[/mm]
> Oder wie kann ich die - aus der () nehmen??
Hallo,
lies Dir durch, wie die Induktionsannahme lautet: was wird über [mm] T_{k-2} [/mm] und was über [mm] T_{k-1} [/mm] vorausgesetzt, und was bedeutet das?
Gruß v. Angela
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Also der hintere Teil der Gleichung [mm] (+T_{k-2}(-x)) [/mm] ist gleich [mm] T_{k-2} [/mm] aber der vordere Teil (2x*-T{k-1}(x)) ist nicht gleich wie T{k-1}(-x), das Minus vor dem T bringe ich nicht weg....???????
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> Also der hintere Teil der Gleichung [mm](+T_{k-2}(-x))[/mm] ist
> gleich [mm]T_{k-2}[/mm] aber der vordere Teil (2x*-T{k-1}(x)) ist
> nicht gleich wie T{k-1}(-x), das Minus vor dem T bringe ich
> nicht weg....???????
Hallo,
kannst du Dir vorstellen, daß das Reden von "vorerer und hinterer Teil" sehr anstrengend ist?
Ich hab# das nämlich nicht auf papier vor mir liegen...
Warum schreibst Du nicht die kompletten Gleichungen so auf, daß man alles schön vor Augen hat und sich ein sinnvoller Ablauf ergibt?
Also:
vorausgesetzt ist...
Es ist [mm] T_k(x)=...
[/mm]
Es ist [mm] -T_k(-x)= [/mm] ...
Mit der Voraussetzung ... erhält man ...
usw. ...
Mal abgesehen davon: wie lautet der vordere Teil der Gleichung, und was weißt Du über [mm] T_{k-1}(-x) [/mm] ?
Gruß v. Angela
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