Tschebyscheff-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich habe keine konkrete Aufgabenstellung, sondern die folgende Frage:
Die Tschebyscheff-Markov-Ungleichung gilt ja auch für den Falls stetiger Zufallsvariablen. Für den diskreten Fall kenne ich auch den Beweis. Für den stetigen Fall wurde uns aber kein Beweis gezeigt, deshalb meine Frage:
Wie beweist man Tschebyscheff-Markov im stetigen Fall?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wir beweisen zunächst die Markov-Ungleichung, weil Tschebyscheff daraus direkt folgt. [mm] $P(X\ge a)\le \frac{E(X)}{a}$ [/mm] für $a>0$.
Es gilt
[mm] $P(X\ge a)=\integral_{}^{}{1_{X\ge a} dP}\le\integral_{}^{}{1_{X\ge a}\frac{X}{a} dP}\le\frac{1}{a}\integral_{}^{}{X dP}=\frac{E(X)}{a}$
[/mm]
Kommst du damit zurecht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Vielen Danke schonmal für die Antwort!
Ich gehe jetzt mal von folgender Notation aus:
zu zeigen ist zunächst die Markow-Ungleichung:
P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) [mm] \le \bruch{E(|X|^r)}{ \epsilon^2}. [/mm] Wie daraus Tschebyscheff folgt, verstehe ich.
P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\I1_{|X| \ge \epsilon} dx}
[/mm]
Und im diskreten Fall käme dann ja noch hinter die Indikatorfunktion P( { [mm] \omega} [/mm] ), das ist dann auch den Schritt den ich bei dir nicht verstehe...
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Hiho,
> zu zeigen ist zunächst die Markow-Ungleichung:
> $P({|X| [mm] \ge \epsilon}) \le \bruch{E(|X|^r)}{ \epsilon^2}$ [/mm]
Das ist nicht die Markow-Ungleichung, und die Ungleichung ist im Allgemeinen sogar falsch. Im Nenner sollte wohl ein [mm] \epsilon^r [/mm] stehen, damit es stimmt. Und selbst dann ist es nur ein Speziallfall der Markow-Ungleichung.
> $P({|X| [mm] \ge \epsilon}) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\I1_{|X| \ge \epsilon} dx}$
[/mm]
Die Gleichung ist im Allgemeinen schon falsch.
Es gilt erstmal:
$P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \int_\Omega 1_{|X| \ge \epsilon} [/mm] dP$
Für den nächsten Schritt mache dir nun klar: Was gilt denn auf der Menge [mm] $\{|X| \ge \epsilon\} [/mm] für [mm] $\bruch{|X|^r}{\epsilon^r}$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Naja, auf dieser Menge ist dann [mm] \bruch{|X|^r}{\epsilon^r} [/mm] > 1
Meine Frage wäre noch, was ist hier bei dieser Gleichung: P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \int_\Omega 1_{|X| \ge \epsilon} [/mm] dP am Ende mit P gemeint?
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Hiho,
> Naja, auf dieser Menge ist dann [mm]\bruch{|X|^r}{\epsilon^r}[/mm] > 1
Na fast. [mm]\bruch{|X|^r}{\epsilon^r} \ge 1[/mm]
> Meine Frage wäre noch, was ist hier bei dieser Gleichung:
> $P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \int_\Omega 1_{|X| \ge \epsilon} [/mm] dP $ am Ende mit P gemeint?
Das Maß auf [mm] $\Omega$, [/mm] nach dem integriert wird.
Wie habt ihr denn den Erwartungswert für stetige ZV definiert?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Die Definition ist wie folgt:
E(g(X))= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] .... [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{g(x_1, ..., x_n) f(x_1,..., x_n) dx_1,...,dx_n}
[/mm]
Für eine reelle Zva (wie hier):
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{xf(x) dx}
[/mm]
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Hiho,
ja und was soll f(x) sein, das kommt auf der linken Seite ja gar nicht vor?
(Nur um das klarzustellen: Ich weiß es, du auch?)
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich denke schon. f ist die Dichte der Zufallsvariable X.
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Hiho,
> Ich denke schon. f ist die Dichte der Zufallsvariable X.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und wo ist die dann bei deinem ersten Versuch das umzuformen?
Und was machen wir mit ZV, die gar keine Dichte haben?
Um dich nicht zu verwirren: Die Fragen haben alle gar keinen Sinn, behandelt ihr bspw. nur ZV mit Dichte, kann es sein, dass ihr die dP-Integrale gar nicht hattet. Sollte das so sein, beweisen wir die Ungleichung etwas anders 
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Di 08.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Nein, dP Integrale hatten wir nicht. Deshlab wäre es nett du wuerdest mir einen anderen beweis zeigen.
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Hiho,
also nachdem ja nun geklärt wurde, dass es auf dem bereits gezeigten Weg nicht funktioniert, da ihr das nicht hattet, mal auf eurem Weg, der aber interessanterweise genauso geht 
Also fang doch mal an:
edit: An der Stelle hab ich dann festgestellt, dass es sogar gänzlich ohne Integralschreibweise geht.
$P(|X| [mm] \ge \varepsilon) [/mm] = [mm] E\left[1_{\{|X| \ge \varepsilon\}}\right] [/mm] = [mm] E\left[1_{\{|X| \ge \varepsilon\}}*1\right]$
[/mm]
Jetzt mach dir mal klar, was wir besprochen hatten, was auf der Menge [mm] $\{|X| \ge \varepsilon\}$ [/mm] gilt und dass trivialerweise gilt:
[mm] $1_{\{|X| \ge \varepsilon\}}*\bruch{|X|^r}{\varepsilon^r} \ge [/mm] 0$
Das reicht um die Aussage zu zeigen
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 08.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich hatte mir auch nochmal Gedanken gemacht und bin zu folgendem Beweis gekommen:
P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \integral_{y: |y|\ge \epsilon}{f(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon} f(y) dy} \le \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{|y^r|}{\epsilon^r} f(y) dy} [/mm] = [mm] \bruch{E(|x|^r)}{\epsilon^r}
[/mm]
Was meinst du dazu? Es ist doch im Prinzip dasselbe wie bei dem Vorgehen, oder?
Ich war mir nicht sicher, ob ich in der Rechnung weiterhin die Variable x verwenden darf?
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Hiho,
> Was meinst du dazu? Es ist doch im Prinzip dasselbe wie bei dem Vorgehen, oder?
Ja. Begründe mir deine Abschätzung aber mal ein bisschen genauer
Erstmal steht da ja nur:
[mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon} f(y) dy} = \integral_{- \infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon}*1 f(y) dy} \le \integral_{-\infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon}{\bruch{|y^r|}{\epsilon^r} f(y) dy}[/mm]
Mit weiteren Abschätzungen kommt man schon zu dem von dir gewünschten Integral, aber die würde ich von dir gern noch begründet haben
> Ich war mir nicht sicher, ob ich in der Rechnung weiterhin die Variable x
verwenden darf?
Ja, ein kleines x wäre ok. y geht aber genauso gut, wenn dir das lieber ist.
Wichtig: In deinem Erwartungswert am Ende muss die ZV X stehen und kein kleines x!
Gruß,
Gono.
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