Tschebyscheff-Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 02.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | | Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem Experiment eintritt, sei 0,5. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in 900 unabhängigen Versuchen zwischen 405 und 495 Malen eintritt, größer als 0.88? |
Hallo Zusammen,
ich hab zwar den Beweis für die Aufgabe, aber leider verstehe ich einge Schritte nicht.
Die Tschebyscheff-Ungleichung lautet:
[mm] P(|X-E(X)|\ge \varepsilon)\le \bruch{V(X)}{\varepsilon^{2}}
[/mm]
Beweis:
[mm] P(|X-E(X)|\ge \varepsilon) [/mm] = P(|X-450| [mm] \ge [/mm] 45) [mm] \le \bruch{V(X)}{\varepsilon^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{225}{45^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
Hieraus erhält man
P(405 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 495) = 1-P(|X-450| [mm] \ge [/mm] 45) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9} [/mm]
Den Teil, den ich leider nicht verstehe, ist der unterstrichene Teil. Ich versteh nicht, wieso eine 1 vor dem P steht und warum die [mm] \le [/mm] und [mm] \ge [/mm] Zeichen umgedreht wurden.
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen??
Vielen lieben Dank im voraus.
Steffy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Do 02.08.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Steffy,
so richtig richtig ist dein Beweis nicht...
Zunaechst einmal: Was heisst "zwischen"? Ist $P(405<X<495)$ gemeint
oder [mm] $P(405\le X\le [/mm] 495)$ ? Bedenke: $X$ ist diskret verteilt. (Ich sehe davon ab,
dass sich die beiden Wahrscheinlichkeiten wohl kaum unterscheiden werden.)
Wie dem auch sei:
[mm] $P(405495)]=1-P(|X-450|>45)=1-P(|X-450|\ge [/mm] 46)$.
Die erste Gleichung folgt aus der alten Bauernregel
[mm] $P(A)=1-P(\overline{A})$ [/mm] fuer ein Ereignis $A$.
lg luis
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