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Tschebyschev: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:20 Sa 21.08.2021
Autor: Leon33

Aufgabe
Guten Abend habe bei dieser Aufgabe Probleme aber keine Ideen bisher
Eine Lebensmittelvertrieb erhält Nüsse, deren Gewicht unabhängig identisch N (3.2, 0.4) -verteilt ist. Der Vetrieb möchte möglichst kleine Verpackungen aus n Element N Nüssen ausliefern, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% das arithmetische Mittel des Gewichts der Nüsse in einer Packung zwischen 2.9 und 3.5 liegt.
Wie viele Nüsse n Element N werden mindestens in einer Verpackung benötigt?
Hinweis: Benutzten Sie die Tschebyschevsche Ungleichung um eine untere Schranke für n zu bestimmen.

Habt ihr Tipps?

nicht gestellt

        
Bezug
Tschebyschev: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:29 Sa 21.08.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

fang doch erstmal damit an zu bestimmen, wie das arithmetische Mittel des Gewichts einer Packung mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] Nüssen verteilt ist…

Dann berechne mal, wie wahrscheinlich es ist, dass dieses Mittel zwischen 2.9 und 3.5 liegt.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Tschebyschev: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:10 Mi 25.08.2021
Autor: Leon33

Wie soll ich hier das arithmetische Mittel berechnen?

Bezug
                        
Bezug
Tschebyschev: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Mi 25.08.2021
Autor: HJKweseleit

Eine Nuss wieegt im Durchschnitt 3,2 g. n Nüsse wiegen im Durchschnitt...

Eine Nuss hat die Varianz 0,4. n Nüsse haben zusammengenommen die Varianz...
(schau in meine erste Antwort)

Bezug
        
Bezug
Tschebyschev: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:14 So 22.08.2021
Autor: HJKweseleit

Die Varianz von 0,4 bezieht sich auf die Einzelwägung der Nüsse. Nimmt man n Stück, so steigt zwar die Varianz, [mm] \sigma [/mm] sinkt aber PRO NUSS (s.u.).

Beispiel (keine Normalverteilung, passt nicht ganz zum oben Gesagten, soll dir aber das Sinken verdeutlichen):

Du hast 50 Nüsse mit 3 g umd 50 Nüsse mit 3,2 g. Dann ist [mm] \mu [/mm] = 3,1 und für jede Nuss die Abweichung 0,1, die Varianz also [mm] 0,1^2. [/mm] Alle Nüsse zusammen wiegen nun 320 g, was genau [mm] n*\mu [/mm] entspricht, und davon ist die Varianz sogar 0, weil es keine Abweichung vom Erwartungswert 100*3,2 gibt.

Zu deinem Problem:

Für die Normalverteilung gilt nun:
[mm] \mu \sim [/mm] n
Var [mm] \sim [/mm] n, also [mm] \sigma \sim \wurzel{n} [/mm]

Das setzt du in die Tschebytscheff-Ungleichung ein. Du solltest 45 Nüsse herausbekommen.

Bezug
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