Tschebyschew-Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Ungleichung von Tschebyschew: Für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert [mm] X^{2} [/mm] < [mm] \infty [/mm] gilt für alle [mm] \varepsilon \in \IR:
[/mm]
Wahrscheinlichkeit [mm] (|X-\mu [/mm] / sigma| [mm] \ge \varepsilon [/mm] ) [mm] \le 1/\varepsilon^{2} [/mm] |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe haben wir die Gleichung mit Hilfe der Markov-Ungleichung umgestellt und schließlich auf der rechten Seite noch folgendes stehen:
[mm] ...\le 1/\varepsilon [/mm] (Erwartungswert |X/sigma| - Erwartungswert [mm] |\mu/sigma|)
[/mm]
Leider wissen wir nicht, wie man von der Klammer auf [mm] 1/\varepsilon [/mm] schließen kann, damit wir [mm] 1/\varepsilon^{2} [/mm] erhalten.
Vielleicht hat jemand einen Tipp für uns! Das wäre sehr lieb und hilfreich 
Vielen Dank im Voraus!
LG Coco
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Hi, Coco,
ursprünglich lautet die Ungleichung ja:
P(|X - [mm] \mu| \ge [/mm] c) [mm] \le \bruch{\sigma ^{2}}{c^{2}} [/mm]
Nun ersetze einfach c durch [mm] \epsilon*\sigma
[/mm]
(was letztlich heißt: man misst den Abstand vom Erwartungswert in Vielfachen der Standardabweichung)
und Du kriegst:
P(|X - [mm] \mu| \ge \epsilon*\sigma) \le \bruch{\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}*\sigma ^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\epsilon ^{2}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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