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Forum "Extremwertprobleme" - Tüftelaufgabe
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Tüftelaufgabe: Aufgabe + Lösungsversuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Di 22.02.2005
Autor: SystemLordAnubis

Aufgabe:

Zerlege die Zahl 24 in zwei Summanden, das die summe der Quadrate der Summanden möglichst klein wird.


Dumme frage eigentlich ^^ aber damit halten wir uns in den ferien über wasser...

es gibt ziemlich genau 12 Möglichkeiten, in die man die Zahl zerlegen kann.

1+23, 2+22, 3+21, 4+20, 5+19, 6+18, 7+27, 8+16, 9+15, 10+14, 11+13, 12+12

Um sicher zu handhaben wasam kleinsten ist bei der addition und der Quadratur müßt man es ausrechnen.

Annahme: [mm] 12^2 [/mm] + [mm] 12^2 [/mm] = 288 << kleinste mögliche Summe der Quadratur der Summanden

[mm] 1^2 [/mm] = 1, [mm] 2^2 [/mm] =4, [mm] 3^2 [/mm] = 9, [mm] 4^2 [/mm] = 16, [mm] 5^2 [/mm] = 25 [mm] 6^2=36, 7^2 [/mm] =49, [mm] 8^2=64, 9^2=81, 10^2 [/mm] =100, [mm] 11^2 [/mm] = 121, [mm] 12^2=144, 13^2 [/mm] = 169, [mm] 14^2= [/mm] 196, [mm] 15^2=225, 16^2=256, 17^2 [/mm] =289, [mm] 18^2=324, 19^2= [/mm] 361,
[mm] 20^2 [/mm] = 400, [mm] 21^2=441, 22^2=484, 23^2 [/mm] = 529.

Die Verschiedenen Zusammensetzungen quadriert und addiert:

  [mm] 1^2 +23^2 [/mm] =   1 +529 = 530
  [mm] 2^2 +22^2 [/mm] =   4 +484 = 488
  [mm] 3^2 +21^2 [/mm] =   9 +441 = 450
  [mm] 4^2 +20^2 [/mm] =  16+400 = 416
  [mm] 5^2 +19^2 [/mm] =  25+361 = 386
  [mm] 6^2 +18^2 [/mm] =  36+324 = 360
  [mm] 7^2 +17^2 [/mm] =  49+289 = 338
  [mm] 8^2 +16^2 [/mm] =  64+256 = 320
  [mm] 9^2 +15^2 [/mm] =  81+225 = 306
[mm] 10^2 +14^2 [/mm] =100+196 = 296
[mm] 11^2 +13^2 [/mm] =121+169 = 290
[mm] 12^2 +12^2 [/mm] =144+144 = 288

Nach der Rechnung bleibt dann stehn...

288 < 290 < 296 < 306 < 320 < 338 < 360 < 386 < 416 < 450 < 488 < 530

Da 288 die kleinste Zahl ist wären 12 und 12 die beiden Summanden bei deren Addition der Quadratur herauskommt.

also [mm] 12^2 [/mm] + [mm] 12^2 [/mm] = 288.. also sind 12 und 12 die beiden zahlen. (bzw. 290, also 11 und 13, falls die zahlen verschieden sein sollten).

Lieg ich da so richtig oder falsch?

Grüße,
SLA
        
Bezug
Tüftelaufgabe: Extremwertberechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Di 22.02.2005
Autor: Loddar

N'Abend SystemLordAnubis !!


> Aufgabe:
> Zerlege die Zahl 24 in zwei Summanden, das die summe der
> Quadrate der Summanden möglichst klein wird.
> [...]
> Lieg ich da so richtig oder falsch?

[daumenhoch] Das ist alles ganz ok so.

Das hättest Du aber auch mit einem Bruchteil an Schreibarbeit erreichen können ...

$a + b \ = \ 24$     [mm] $\gdw$ [/mm]     $b \ = \ 24 - a$
$S(a, \ b) \ = \ [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]     $S(a) \ = \ [mm] a^2 [/mm] + [mm] (24-a)^2 [/mm] \ = \ [mm] 2a^2 [/mm] - 48a +576$

Wenn Du hiermit eine Extremwertberechnung (Nullstelle der 1. Ableitung) durchführst, erhältst Du sehr bald ebenfalls Dein o.g. Ergebnis mit [mm] $a_E [/mm] \ = \ [mm] b_E [/mm] \ = \ 12$ sowie [mm] $S_{\min} [/mm] \ = \ [mm] S(a_E) [/mm] \ = \ S(12) \ = \ 288$.


Grüße und [gutenacht] ...
Loddar

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