Umfang einer Ellipse < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mo 03.11.2008 | | Autor: | andi1983 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Der Umfang einer Ellipse mit großer Achsenlänge a und Exzentrizität e ist gegeben durch
[mm] 4*\integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{1- \varepsilon^{2}*sin^{2}(t)* t} dt}
[/mm]
mit [mm] \varepsilon [/mm] = e/a. Die Zahl [mm] \varepsilon [/mm] heißt numerische Exzentizität der Ellipse. Versuchen Sie nicht das Integral zu lösen - es ist unlösbar. |
Das Bsp sollte durch eine geeignete Parametrisierung lösbar sein. Nur leider weiß ich gar nicht wo bzw wie ich anfangen soll. Ich habe mal mit einem Kreis begonnen [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Ich hab den Ansatz mit dem parametrisieren noch nicht so drauf.
Bitte helft mir auf die Sprünge.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie: Der Umfang einer Ellipse mit großer Achsenlänge
> a und Exzentrizität e ist gegeben durch
> [mm]4*\integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{1- \varepsilon^{2}*sin^{2}(t)* t} dt}[/mm]
>
> mit [mm]\varepsilon[/mm] = e/a. Die Zahl [mm]\varepsilon[/mm] heißt
> numerische Exzentizität der Ellipse. Versuchen Sie nicht
> das Integral zu lösen - es ist unlösbar.
> Das Bsp sollte durch eine geeignete Parametrisierung
> lösbar sein. Nur leider weiß ich gar nicht wo bzw wie ich
> anfangen soll. Ich habe mal mit einem Kreis begonnen
> [mm]x^{2} +y^{2} =r^{2}[/mm]
besser: [mm]x^{2} +y^{2} =a^{2}[/mm]
Dieser Kreis kann so parametrisiert werden:
x(t)=a*cos(t) y(t)=a*sin(t)
Die Ellipse entsteht aus dem Kreis, indem man ihn in
y-Richtung mit dem Faktor [mm] \bruch{b}{a} [/mm] quetscht. Sie wird
beschrieben durch die Gleichung
[mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1
[/mm]
oder parametrisch:
x(t)=a*cos(t) y(t)=b*sin(t)
Um die Bogenlänge zu berechnen, betrachten wir zunächst
ein (infinitesimales) Bogenelement ds=Distanz zwischen P(t)
und P(t+dt).
[mm] $P(t)=\vektor{a*cos(t)\\b*sin(t)}\qquad P(t+dt)=P(t)+P'(t)*dt=\vektor{a*cos(t)-a*sin(t)dt\\b*sin(t)+b*cos(t)dt}$
[/mm]
[mm] $P(t+dt)-P(t)=P'(t)*dt=\vektor{-a*sin(t)\\b*cos(t)}dt$
[/mm]
[mm] ds=|P'(t)|*dt=\wurzel{a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t)}*dt [/mm] (ds>0, dt>0)
Für die Bogenlänge der Ellipse ergibt sich:
[mm] L=4*\integral_{t=0}^{\bruch{\pi}{2}}ds=4*\integral_{t=0}^{\bruch{\pi}{2}}\wurzel{a^2*sin^2(t)+b^2*cos^2(t)}*dt
[/mm]
Mittels der Gleichung [mm] b^2=a^2*(1-\varepsilon^2) [/mm] führt dies auf:
[mm] L=4*\integral_{t=0}^{\bruch{\pi}{2}}ds=4*\integral_{t=0}^{\bruch{\pi}{2}}\wurzel{a^2*\left(1-\varepsilon^2*cos^2(t)\right)}*dt=\ 4*a*\integral_{t=0}^{\bruch{\pi}{2}}\wurzel{1-\varepsilon^2*cos^2(t)}*dt
[/mm]
Dies entspricht nun aber keineswegs dem Resultat, das du
angegeben hast. Letzteres kann schon deshalb nicht stimmen,
weil darin keine einzige lineare Grösse, also weder a noch b
auftritt.
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 04.11.2008 | | Autor: | andi1983 |
Danke vielmals - ich werde mir das mal genüsslich durch den Kopf gehen lassen. Das Ergebnis, welches auf dem Angabenzettel steht, hab ich bis auf die obere Schranke des Integrals [mm] (\pi/2) [/mm] richtig abgeschrieben. Vielleicht hat sich der Prof. vertan.
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> Danke vielmals - ich werde mir das mal genüsslich durch den
> Kopf gehen lassen. Das Ergebnis, welches auf dem
> Angabenzettel steht, hab ich bis auf die obere Schranke des
> Integrals [mm](\pi/2)[/mm] richtig abgeschrieben. Vielleicht hat
> sich der Prof. vertan.
Letzteres soll auch schon mal vorgekommen sein  .
Übrigens: ob dort sin oder cos steht, ist am Ende
wegen des Integrationsintervalls und weil [mm] cos(x)=sin(\pi/2-x), [/mm] einerlei.
Der zusätzliche Faktor t im Integranden (unter der Wurzel ?) ist
aber sicher falsch.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 05.11.2008 | | Autor: | andi1983 |
| Aufgabe | Um die Bogenlänge zu berechnen, betrachten wir zunächst
ein (infinitesimales) Bogenelement ds=Distanz zwischen P(t)
und P(t+dt). $P(t+dt) = P(t) + P'(t)*dt$ |
Warum nimmt man man bei P(t+dt) eigentlich P'(t) um sie mit dt zu multiplizieren. Ist sicher eine blöde Frage aber wenn ich mit P(t) rechne komm ich auf das gleiche Endergebnis. Nun ist meine Frage ob man immer auch mit der Stammfunktion ein infinitesimales Stück weitergehen kann oder ob das nur hier der Fall ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 05.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Al hat dir doch geschrieben, dass [mm] \Delta [/mm] s der Abstand 2er Punkte der fkt ist? Dann ist das i.A. doch nicht die fkt?
also ist P(t) schon vom Prinzip her falsch!
da aber hier zufaellig |P(t)|=|P'(t)| ist kommt das richtige Ergebis, auf dem falschen Weg doch raus.
(Aber die Frage ist trotzdem auf dem Niveau: Warum ist der Flaecheninhalt eines Quadrates nicht 2* Seitenlaenge? ich hab doch auch bei a=2 einfach 2*2 gerechnet.)
Gruss leduart
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