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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Umformen differentialgleichung
Umformen differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Umformen differentialgleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 So 24.01.2010
Autor: konrad20

Aufgabe
Zeigen Sie, dass durch die Substitution v(x)=xy(x) die Differentialgleichung

yf(xy)+xg(xy)y'=0

in eine trennbare Differentialgleichung umgeformt wird.

mein Lösungsansatz ist bisher, dass ich die Gleichung wahrscheinlich umformen muss, allerdings bin  ich noch zu keiner form gekommen bei der das möglich ist:

ausklammern von (xy):
yf(xy) + xg(xy)y'=(xy)(yf+xgy')=0


ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.





        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 So 24.01.2010
Autor: MathePower

Hallo konrad20,


[willkommenmr]


> Zeigen Sie, dass durch die Substitution v(x)=xy(x) die
> Differentialgleichung
>  
> yf(xy)+xg(xy)y'=0
>  
> in eine trennbare Differentialgleichung umgeformt wird.
>  mein Lösungsansatz ist bisher, dass ich die Gleichung
> wahrscheinlich umformen muss, allerdings bin  ich noch zu
> keiner form gekommen bei der das möglich ist:
>  
> ausklammern von (xy):
>  yf(xy) + xg(xy)y'=(xy)(yf+xgy')=0
>  


Hier ist doch xy als Argument von f bzw. g zu sehen.

Dann führt die Substitution auch auf eine trennbare DGL.


>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

Danke für deine Antwort!

heißt das, dass ich nun f(xy) und g(xy) mit v(x) substituieren kann, oder nur das Argument ?

Bezug
                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Mo 25.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Danke für deine Antwort!
>  
> heißt das, dass ich nun f(xy) und g(xy) mit v(x)
> substituieren kann, oder nur das Argument ?

Das Argument ...

LG

Mit $v(x)=xy=xy(x)$ ist $f(xy)=f(v(x))$ usw.

LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

jetzt muss ich doch noch y' mit u(x) ausdrücken...
u(x)=x*y
y=u(x)/x
[mm] y'=(u(x)-x*du)/x^2 [/mm]

stimmt das so wie ich es gemacht hab?

Bezug
                                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Mo 25.01.2010
Autor: MathePower

Hallo konrad20,

> jetzt muss ich doch noch y' mit u(x) ausdrücken...
>  u(x)=x*y
>  y=u(x)/x
>  [mm]y'=(u(x)-x*du)/x^2[/mm]
>  
> stimmt das so wie ich es gemacht hab?


Das stimmt leider nicht.

Differenziere den Ausdruck [mm]\bruch{u\left(x\right)}{x}[/mm]
mit Hilfe der Quotientenregel.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

die ableitung von u(x)=du
die ableitung von x=1

[mm] y'(x)=((du*x)-u(x)*1)/x^2 [/mm]



Bezug
                                                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mo 25.01.2010
Autor: MathePower

Hallo konrad20,

> die ableitung von u(x)=du
>  die ableitung von x=1
>  
> [mm]y'(x)=((du*x)-u(x)*1)/x^2[/mm]
>  


Ach so, für die Ableitung von u schreibst Du "du",
üblicherweise schreibt man da " u' ".

Dann ist:

[mm]y'(x)=((u'\left(x\right)*x)-u(x)*1)/x^2[/mm]  

Oder etwas schöner:

[mm]y'(x)=\bruch{u'\left(x\right)*x-u(x)*1}{x^2}[/mm]  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

achso, vielen Dank, werd ich in Zukunft anders schreiben.

also ich hab jetzt:
[mm] yf(u(x))+xgu(x))*[{(u'(x)*x-u(x)}/(x^2)]=0 [/mm]

zuerst auf:
[mm] yf(x(u))*x^2=-x*{g(u(x))*u'(x)-u(x)} [/mm]  

dann hätt ich mit x gekürzt und durch f(u(x)) dividiert

y*x=[g(u(x))*u'(x)*u(x)]/f(u(x))




Bezug
                                                                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Mo 25.01.2010
Autor: MathePower

Hallo konrad20,

> achso, vielen Dank, werd ich in Zukunft anders schreiben.
>  
> also ich hab jetzt:
>  [mm]yf(u(x))+xgu(x))*[{(u'(x)*x-u(x)}/(x^2)]=0[/mm]
>  
> zuerst auf:
>  [mm]yf(x(u))*x^2=-x*{g(u(x))*u'(x)-u(x)}[/mm]  


Das muss doch so lauten:

[mm]y* f(\ u(x) \ )*x^2=-x*g( \ u(x) \ )*\left( \ u'(x)*\red{x}-u(x) \ \right)[/mm]  

Und jetzt kannst Du noch für [mm]y\left(x\right)=\bruch{u\left(x\right)}{x}[/mm] schreiben.


>
> dann hätt ich mit x gekürzt und durch f(u(x)) dividiert
>  
> y*x=[g(u(x))*u'(x)*u(x)]/f(u(x))
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

oh, da hab ich das x unterschlagen...

dann hab ich jetzt da stehen:
u(x)*f(u(x))=-g(u)*(u'(x)*x-u(x))

und ausmultipliziert

u(x)*f(u(x))= - g(u(x))*u'(x)*x-g(u(x))*u(x)

reicht das jetzt einfach nach x auf zu lösen, um zu zeigen, dass es nun eine trennbare differentialgleichung ist?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Mo 25.01.2010
Autor: MathePower

Hallo konrad20,

> oh, da hab ich das x unterschlagen...
>  
> dann hab ich jetzt da stehen:
>  u(x)*f(u(x))=-g(u)*(u'(x)*x-u(x))


Da ist ein "x" verlorengegangen:

[mm]\red{x}*u(x)*f(u(x))=-g(u)*(u'(x)*x-u(x))[/mm]


>  
> und ausmultipliziert
>  
> u(x)*f(u(x))= - g(u(x))*u'(x)*x-g(u(x))*u(x)
>  
> reicht das jetzt einfach nach x auf zu lösen, um zu
> zeigen, dass es nun eine trennbare differentialgleichung
> ist?


Um zu zeigen, daß diese DGL trennbar ist,
muß die DGL in der Form

[mm]u'=h\left(u\right)*k\left(x\right)[/mm]

geschrieben werden können.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

so ich hab nun versucht, u'(x) auf eine Seite zu bringen:

zuerst *(-g(u(x)) und +u(x)

{[x*u(x)*f(u(x))]/-g(u(x))}+u(x)=u'(x)*x

und dann noch durch x dann erhalte ich einen doppelbruch bei dem ich nach dem auflösen nicht mehr weiterkomm:

[x*u(x)*f(u)+u(x)*(-g(u(x)))]/[-g(u(x))*x]







Bezug
                                                                                                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mo 25.01.2010
Autor: MathePower

Hallo konrad20,

> so ich hab nun versucht, u'(x) auf eine Seite zu bringen:
>  
> zuerst *(-g(u(x)) und +u(x)
>  
> {[x*u(x)*f(u(x))]/-g(u(x))}+u(x)=u'(x)*x


Nun, auch hier ist ein x verlorengegangen:

[mm]\bruch{x*u(x)*f(u(x))}{-g(u(x))*\red{x}}+u(x)=u'(x)*x[/mm]


>  
> und dann noch durch x dann erhalte ich einen doppelbruch
> bei dem ich nach dem auflösen nicht mehr weiterkomm:
>  
> [x*u(x)*f(u)+u(x)*(-g(u(x)))]/[-g(u(x))*x]
>  


Gruss
MathePower
  

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

danke für die große geduld:

also ich kann doch jetzt im bruch das x rauskürzen und hab dann:

(u+f(u))/-(g(u))+u= u'*x  nun hätte ich zuerst die linke seite auf einen nenner gebracht

(u+f(u)+g(u) u)/(g(u)= u'*x

danach durch x geteilt und den doppelbruch aufgelöst:

[u*f(u)+u*-g(u)]/(g(u)*x)=u'

dann kann ich im nenner noch u ausklammern:

u*(f(u)-g(u))/(g(u)*x)

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mo 25.01.2010
Autor: MathePower

Hallo konrad20,


> danke für die große geduld:
>  
> also ich kann doch jetzt im bruch das x rauskürzen und hab
> dann:
>  
> (u+f(u))/-(g(u))+u= u'*x  nun hätte ich zuerst die linke
> seite auf einen nenner gebracht
>  
> (u+f(u)+g(u) u)/(g(u)= u'*x
>  
> danach durch x geteilt und den doppelbruch aufgelöst:
>  
> [u*f(u)+u*-g(u)]/(g(u)*x)=u'
>  
> dann kann ich im nenner noch u ausklammern:
>  
> u*(f(u)-g(u))/(g(u)*x)


Ja, damit hast Du die gewünschte Darstellung erreicht:

[mm]u*\bruch{f(u)-g(u)}{g(u)}*\bruch{1}{x}=u'[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Umformen differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 Mo 25.01.2010
Autor: konrad20

vielen, vielen Dank für die Hilfe und vor allem die Geduld!

Gruß Konrad

Bezug
                                                                                        
Bezug
Umformen differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mo 25.01.2010
Autor: leduart

Hallo
es wird übersichtlicher, wenn du statt u(x) immer nur u schreibst. du schreibst ja auch y und nicht y(x)
Am besten schreibst du so um, dass da steht u'=...
Wenn du dann was in der FOrm u'=F(u)*G(x) dastehen hast, kannst du die Variablen trennen.
Gruss leduart

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