Umformen um Konv-Radius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 04.12.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | [mm] z^2\summe_{j=1}^{\infty}j w_j z^{j-1}=\summe_{j=0}^{\infty} w_j z^j-z [/mm] |
Ich habe versucht umzuformen und umzuformen, aber ich bekomme einfache keine schöne Darstellung, um den Konvergenzradius ermitteln zu können.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]z^2\summe_{j=1}^{\infty}j w_j z^{j-1}=\summe_{j=0}^{\infty} w_j z^j-z[/mm]
>
> Ich habe versucht umzuformen und umzuformen, aber ich
> bekomme einfache keine schöne Darstellung, um den
> Konvergenzradius ermitteln zu können.
wie kommst Du zu der Gleichheit? (Hast Du da irgendwo integriert und das
nicht dazugeschrieben?)
Jedenfalls: Für den Konvergenzradius in der linken Darstellung zu
berechnen hättest Du doch einfach nur
[mm] $$1/\limsup_{j \to \infty} \sqrt[j-1]{|j*w_j|}$$
[/mm]
auszurechnen - und es gilt ja [mm] $\sqrt[j]{j} \to [/mm] 1$ und damit [mm] $\sqrt[j-1]{j}=... \to [/mm] ...$
P.S.: Mach' Dir bitte klar, dass sich der Konvergenzradius einer Potenzreihe
sofort aus dem Wurzelkriterium (oder auch Quotientenkritierium) ergibt
(ergeben kann): Wenn man die verstanden hat, kann man den
Konvergenzradius alleine durch deren Anwendung berechnen - denn aus
entsprechenden Überlegungen ergibt sich ja die Definition des
"Konvergenzradius"!
Und bei Potenzreihen weiß man auch etwas über den Konvergenzradius
der Ableitung(en) der Potenzreihe im Vergleich mit dem Konvergenzradius
der Ausgangs-Potenzreihe...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 04.12.2012 | | Autor: | Lonpos |
Diese Gleichung habe ich bei einer Diff-Gleichung erhalten, als ich mit Potenzreihe substituiert habe. Wie man den Konvergenzradius berechnet, weiß ich, ich war nur durch die beiden Summen etwas verunsichert.
[mm] \sqrt[j-1]{j}=1
[/mm]
Damit ist man auch fertig oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 04.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Diese Gleichung habe ich bei einer Diff-Gleichung erhalten,
> als ich mit Potenzreihe substituiert habe. Wie man den
> Konvergenzradius berechnet, weiß ich, ich war nur durch
> die beiden Summen etwas verunsichert.
>
> [mm]\sqrt[j-1]{j}=1[/mm]
>
> Damit ist man auch fertig oder?
Nein. Die Gleichung stimmt nicht. Wir wollen [mm] $\root [/mm] {j-1} [mm] \of [/mm] j [mm] \to [/mm] 1$ zeigen. Und wir wissen [mm] $\root [/mm] j [mm] \of [/mm] j [mm] \to 1\;.$ [/mm] Damit kannst Du die Folge [mm] $\left(\root {j-1} \of j\right)$ [/mm] in zwei gegen 1 konvergente Folgen einschließen.
OK?
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Diese Gleichung habe ich bei einer Diff-Gleichung erhalten,
> als ich mit Potenzreihe substituiert habe. Wie man den
> Konvergenzradius berechnet, weiß ich, ich war nur durch
> die beiden Summen etwas verunsichert.
>
> [mm]\sqrt[j-1]{j}=1[/mm]
>
> Damit ist man auch fertig oder?
wie Wolfgang schon sagte ist diese Gleichung meist unsinnig:
Ich find's aber einfacher, [mm] $\lim_{j \to \infty}\sqrt[j-1]{j}=1$ [/mm] so zu
beweisen:
[mm] $$\sqrt[j-1]{j}=j^{1/(j-1)}=(j^{1/j})^{j/(j-1)}=\big(\,\sqrt[j]{j}\,\big)^\frac{j}{j-1}\,,$$
[/mm]
jedenfalls, wenn man etwa die Stetigkeit von [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] und
[mm] $\ln(\cdot)$ [/mm] benutzen darf.
Aber natürlich bist Du damit noch nicht fertig, aber es folgt damit schonmal,
dass sich der Konvergenzradius 'vereinfacht' berechnet zu
[mm] $$1/\limsup_{j \to \infty} \sqrt[j-1]{|j*w_j|}=1/\limsup_{j \to \infty}\sqrt[j]{|w_j|}$$
[/mm]
(Warum gilt [mm] $\limsup_{j \to \infty} \sqrt[j-1]{|w_j|}=\limsup_{j \to \infty} \sqrt[\red{j}]{|w_j|}$?)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
