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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Di 25.09.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{2}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}u_{\mu}(\vec{R})\left(\delta_{\vec{R},\vec{R'}}\summe_{\vec{R''}}\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R''})-\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})\right)u_{\nu}(\vec{R'})=\bruch{1}{4}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}\left[u_{\mu}(\vec{R})-u_{\mu}(\vec{R'})\right]\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})\left[u_{\nu}(\vec{R})-u_{\nu}(\vec{R'})\right] [/mm] |
Hallo,
kann mir einer bitte sagen, wie man von der linken auf die rechte Seite kommt?
Danke!
Gruss beta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Mi 26.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Erklärst du noch grob, worum es geht? Was bedeuten die Symbole? Das würde die Hilfe deutlich vereinfachen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mi 26.09.2007 | | Autor: | beta81 |
Ja klar!
Also [mm] \phi [/mm] ist ein Potential, das vom Abstand R und R' abhaengt und [mm] \delta [/mm] ist natuerlich die Deltafunktion.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mi 26.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo beta81,
zerlege die Summe links in die zwei Teile und setze die Definition von [mm]\delta[/mm] ein:
[mm]\bruch{1}{2}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}u_{\mu}(\vec{R})\left(\delta_{\vec{R},\vec{R'}}\summe_{\vec{R''}}\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R''})-\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})\right)u_{\nu}(\vec{R'}) = \bruch{1}{2}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'},\vec{R''}\\\mu,\nu}}u_{\mu}(\vec{R})\delta_{\vec{R},\vec{R'}}\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R''})u_{\nu}(\vec{R'}) - \bruch{1}{2}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}u_{\mu}(\vec{R})\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})u_{\nu}(\vec{R'})
[/mm]
Der zweite Term braucht nicht umgeformt zu werden, der erste ergibt
[mm]\bruch{1}{2}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R''}\\\mu,\nu}}u_{\mu}(\vec{R})\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R''})u_{\nu}(\vec{R})=\bruch{1}{2}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}u_{\mu}(\vec{R})\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})u_{\nu}(\vec{R})
[/mm]
In der rechten Seite
[mm]\bruch{1}{4}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}\left[u_{\mu}(\vec{R})-u_{\mu}(\vec{R'})\right]\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})\left[u_{\nu}(\vec{R})-u_{\nu}(\vec{R'})\right][/mm]
multiplizierst die Klammern aus und fasst gleiche Terme paarweise zusammen (unter Vertauschung der Indizes [mm]\mu,\nu[/mm]).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 26.09.2007 | | Autor: | beta81 |
Hallo Rainer, Danke für die Hilfe!
Die ersten 2 Zeilen hab ich verstanden. Dann hab ich die dritte Zeile ausmultipliziert
[mm] \bruch{1}{4}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}\left[u_{\mu}(\vec{R})u_{\nu}(\vec{R})-u_{\mu}(\vec{R})u_{\nu}(\vec{R'})-u_{\mu}(\vec{R'})u_{\nu}(\vec{R})+u_{\mu}(\vec{R'})u_{\nu}(\vec{R'})\right]\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})
[/mm]
Was meinst du mit 'fasse gleiche Terme paarweise zusammen (unter Vertauschung der Indizes $ [mm] \mu,\nu [/mm] $)'?
Gruss beta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 26.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo beta,
[mm]\bruch{1}{4}\summe_{\substack{\vec{R},\vec{R'}\\\mu,\nu}}\left[u_{\mu}(\vec{R})u_{\nu}(\vec{R})-u_{\mu}(\vec{R})u_{\nu}(\vec{R'})-u_{\mu}(\vec{R'})u_{\nu}(\vec{R})+u_{\mu}(\vec{R'})u_{\nu}(\vec{R'})\right]\phi_{\mu\nu}(\vec{R}-\vec{R'})[/mm]
>
> Was meinst du mit 'fasse gleiche Terme paarweise zusammen
> (unter Vertauschung der Indizes [mm]\mu,\nu [/mm])'?
Du kannst doch die Summationsindizes beliebig umbenennen, also auch einfach in einem Summanden [mm]\mu,\nu [/mm] oder [mm]R,R'[/mm] vertauschen.
Vertausche doch im dritten und vierten Term [mm]R[/mm] und [mm]R'[/mm]. Das Potential hängt doch nur vom Abstand ab, nicht von der Richtung, oder? Und wenn ich das richtig verstehe, ist es auch symmetrisch unter Vertauschung von [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Do 27.09.2007 | | Autor: | beta81 |
danke!
du meinst wohl, im dritten Term [mm] $\vec{R}$ [/mm] und [mm] $\vec{R'}$ [/mm] vertauschen, und im vierten Term [mm] $\vec{R'}$ [/mm] durch [mm] $\vec{R}$ [/mm] ersetzen?!
...ich glaub, dass ich es verstanden hab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Do 27.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ich meinte auch im vierten Term vertauschen, denn die Summation geht über beide und das Potential enthält beide.
Viele Grüße
Rainer
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