Umformung Summenzeichen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Di 10.04.2012 | | Autor: | iparkeri |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wollte eigentlich nur wissen, ob man das so umformen kann.
Gegeben habe ich:
$ [mm] \bruch{1}{N^2} \summe_{i=1}^N \summe_{j=1}^N H(\varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \parallel \vec{x}_i [/mm] $ - $ [mm] \vec{x}_j \parallel) [/mm] $
, wobei H die Heaviside-Funktion ist.
(der Vorfaktor soll in Folgendem immer so gewählt werden, dass der gesamte Term = 1 ist, wenn gilt [mm] $H(\varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \parallel \vec{x}_i [/mm] $ - $ [mm] \vec{x}_j \parallel) [/mm] =1$ für alle i,j)
Für i [mm] \not= [/mm] j müsste daraus doch:
$ [mm] \bruch{1}{N(N-1)} \summe_{i=1}^{N} \summe_{j=1}^N H(\varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \parallel \vec{x}_i [/mm] $ - $ [mm] \vec{x}_j \parallel) [/mm] $
werden.
das kann man umformen zu:
$ [mm] \bruch{2}{N (N-1)} \summe_{i=1}^{N-1} \summe_{j=i+1}^N H(\varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \parallel \vec{x}_i [/mm] $ - $ [mm] \vec{x}_j \parallel) [/mm] $
, oder?
Falls man für j = i+1, j = [mm] i+\ell [/mm] setzen möchte, müsste doch daraus
$ [mm] \bruch{2}{(N+1-\ell) (N-\ell)} \summe_{i=1}^{N-\ell} \summe_{j=i+\ell}^N H(\varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \parallel \vec{x}_i [/mm] $ - $ [mm] \vec{x}_j \parallel) [/mm] $
werden.
und das wiederum müsste doch für $w= [mm] \ell$:
[/mm]
$ [mm] \bruch{2}{(N+1-w) (N-w)} \summe_{n=w}^{N-1} \summe_{k=1}^{N-n} H(\varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \parallel \vec{x}_k [/mm] $ - $ [mm] \vec{x}_{k+n} \parallel) [/mm] $
entsprechen, oder?
Gruß iparkeri
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Hallo,
> Gegeben habe ich:
>
> [mm]\bruch{1}{N^2} \summe_{i=1}^N \summe_{j=1}^N H(\varepsilon[/mm]
> - [mm]\parallel \vec{x}_i[/mm] - [mm]\vec{x}_j \parallel)[/mm]
>
> , wobei H die Heaviside-Funktion ist.
> (der Vorfaktor soll in Folgendem immer so gewählt
> werden, dass der gesamte Term = 1 ist, wenn gilt
> [mm]H(\varepsilon[/mm] - [mm]\parallel \vec{x}_i[/mm] - [mm]\vec{x}_j \parallel) =1[/mm]
> für alle i,j)
> Für i [mm]\not=[/mm] j müsste daraus doch:
>
> [mm]\bruch{1}{N(N-1)} \summe_{i=1}^{N} \summe_{j=1}^N H(\varepsilon[/mm]
> - [mm]\parallel \vec{x}_i[/mm] - [mm]\vec{x}_j \parallel)[/mm]
>
> werden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Das "$i [mm] \not= [/mm] j$" solltest du aber auch bei den Summen mit hinschreiben!
> das kann man umformen zu:
>
> [mm]\bruch{2}{N (N-1)} \summe_{i=1}^{N-1} \summe_{j=i+1}^N H(\varepsilon[/mm]
> - [mm]\parallel \vec{x}_i[/mm] - [mm]\vec{x}_j \parallel)[/mm]
>
> , oder?
Genau. Das geht aber nur, weil der Term [mm] $H(\varepsilon [/mm] - [mm] ||x_i [/mm] - [mm] x_j||)$ [/mm] symmetrisch in i und j ist.
Ab jetzt gehe ich davon aus, dass anstelle von H(...) einfach "1" in der Summe steht, weil ich nicht weiss, was konkret hinter der Aufgabe verborgen ist:
> Falls man für j = i+1, j = [mm]i+\ell[/mm] setzen möchte, müsste
> doch daraus
>
> [mm]\bruch{2}{(N+1-\ell) (N-\ell)} \summe_{i=1}^{N-\ell} \summe_{j=i+\ell}^N H(\varepsilon[/mm]
> - [mm]\parallel \vec{x}_i[/mm] - [mm]\vec{x}_j \parallel)[/mm]
>
> werden.
> und das wiederum müsste doch für [mm]w= \ell[/mm]:
>
> [mm]\bruch{2}{(N+1-w) (N-w)} \summe_{n=w}^{N-1} \summe_{k=1}^{N-n} H(\varepsilon[/mm]
> - [mm]\parallel \vec{x}_k[/mm] - [mm]\vec{x}_{k+n} \parallel)[/mm]
>
> entsprechen, oder?
genau.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Do 12.04.2012 | | Autor: | iparkeri |
super, vielen dank.
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