Umformung einer Summe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Sa 11.11.2006 | | Autor: | feku |
| Aufgabe | | Warum gilt [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}(1)^{n}(\bruch{1}{n})^{n-k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}(\bruch{1}{n})^{k} [/mm] |
Ich verstehe einfach nicht, warum das Gleichheitszeichen gilt! Ich habs rechnerisch probiert, es stimmt, aber wie kommt man darauf bzw. welche Umformung ist notwendig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Vertex |
Hallo feku,
ich bin mir nicht sicher ob es da ein genaue mathematische Umformung gibt. Wahrscheinlich schon allerdings kenne ich sie nicht.
Trotzdem will ich versuchen dir zu veranschaulichen, warum beide Ausdrücke gleich sind.
Das [mm] (1)^{n} [/mm] fällt raus, das es natürlich immer 1 ist, das wird aber auch nicht das Problem gewesen sein.
k ist ja nun der Laufindex der Summe. Er startet bei 0 und läuft hoch bis n.
Spielen wir die Summen mal anhand eines Bespieles durch. Wählen wir n=5
[mm] \summe_{k=0}^{5}(\bruch{1}{n})^{n-k}=(\bruch{1}{5})^{5}+(\bruch{1}{5})^{4}+(\bruch{1}{5})^{3}+(\bruch{1}{5})^{2}+(\bruch{1}{5})^{1}+(\bruch{1}{5})^{0}
[/mm]
bzw.
[mm] \summe_{k=0}^{5}(\bruch{1}{n})^{k}=(\bruch{1}{5})^{0}+(\bruch{1}{5})^{1}+(\bruch{1}{5})^{2}+(\bruch{1}{5})^{3}+(\bruch{1}{5})^{4}+(\bruch{1}{5})^{5}
[/mm]
Wie du siehst, enhalten beide Gleichungen exakt die gleichen Terme nur in umgekehrter Reihenfolge. Sie sind also tatsächlich gleich.
Ich hoffe ich konnte dir die Sache so zumindest veranschaulichen. Ich lasse die Frage im Status "unbeantwortet". Vielleicht hat ein Anderer User hier ja noch eine mathematischere Antwort auf Lager.
Gruss,
Vertex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Sa 11.11.2006 | | Autor: | feku |
Hallo Vertex, vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe nun sinngemäß verstanden, warum beide Terme gleich sind. Diese Formel steht bei mir auf einem Lösungsblatt und gehört zu einer größeren Aufgabe. Da wurde erwartet, dass man von selbst auf diese Umformung kommt, aber ich würde da durch hingucken nicht draufkommen, daher hab ich gedacht es gibt vielleicht eine mathematische Regel, die man kennen muss. Auf jeden Fall nochmals vielen Dank für die Ausführliche und hilfreiche Erklärung!
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Hallo,
der Schlüssel liegt darin, dass [mm] $\vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \vektor{n\\n-k}$ [/mm] gilt.
Dadurch sind die Binomialkoeffizienten symmetrisch angeordnet und man kann die Reihenfolge der Potenzen vertauschen, ohne dass sich die Gesamtsumme ändert.
Gruß
Martin
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