Umformung einer Summe mit BK < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Sa 30.10.2010 | | Autor: | suky |
| Aufgabe | [mm] \sum_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}2^k [/mm] umformen zu [mm] 2\cdot3^n.
[/mm]
Laut Voraussetzung gilt: [mm] \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}2^k=3^n [/mm] . |
Hallo,
ich sitze bei einem Beweis mittels vollständiger Induktion schon paar Stunden und habe festgestellt, dass ich nicht weiterkomme. Das Problem liegt bei der Umformung der oben genannten Summe.
Man muss die erste Summe so umstellen, dass man sie durch [mm] 3^n [/mm] laut Voraussetzung ersetzen kann. Aber wie man das macht, ist mir leider nicht bekannt.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=431646
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
beachte, dass der erste Summand [mm] \vektor{n \\ -1}*2^0 [/mm] = 0 ist. Die Summe läuft also eigentlich erst ab k=1. Führe dann eine Indexverschiebung gemäß der Substitution l = k-1 durch. Beachte [mm] 2^{l+1} [/mm] = [mm] 2*2^l, [/mm] ziehe den Faktor 2 vor die Summe und wende die Induktionsvoraussetzung an.
Gruß Sax.
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