Umformung rekursiv -> explizit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Di 08.07.2008 | | Autor: | Luniac |
| Aufgabe | Aufgabe lautet:
Wandeln Sie die rekursive Folge a(n) = a(n-1) + n mit a0=3 in eine explizite Folge a(n) = f (n) um. |
Hat jemand eine Ahnung wie man solche Aufgaben löst?
Normalerweise würde ich nun die ersten 5 Glieder ausrechnen, und versuchen ein Bildungsgesetz zu finden.
Bei dieser Folge finde ich das allerdings absolut nicht raus.
Dabei sieht es ja eigentlich ganz einfach aus.. ich tüftelt da nun schon ne ganze Weile dran.
Vielleicht kann mir jemand ja eine Lösung geben (bitte mit Lösungsweg  )
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Di 08.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo und willkommen hier!
Vergleiche mal [mm] (a_n)=(3; [/mm] 5; 8; 12; 17; 23; ...) mit [mm] (b_n)=(1; [/mm] 3; 6; 10; 15; 21, ...)
Die Folge [mm] b_n [/mm] kennst du sicher schon!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 08.07.2008 | | Autor: | Luniac |
Hm, das hilft mir irgendwie nicht weiter.
Das ist ja quasi "Fakultät" nur mit Addition statt Multiplikation.
Aber ich weiß nicht wie ich dazu ein Bildungsgesetz finden soll.
Mit den üblichen Formeln schaffe ich das nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Di 08.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Hmm, ja, so kann man es nennen :) Das sind die sogenannten Dreieckszahlen.
Sie werden durch die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gebildet (wie du ja schon gemerkt hast).
Eine beliebige Zahl von ihnen kann man mit der Formel [mm] s_n=\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] berechnen, findest du sicher auch irgendwo im Tafelwerk :)
Ansonsten ist natürlich auch Loddars Vorschlag super, weil der wohl etwas allgemeiner ist.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Di 08.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Luniac,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bilde mal die Differenz der einzelnen Glieder. Und anschließend nochmals die Differenzen der Differenzen.
Hier enthältst Du nun immer einen konstanten Wert. Da diese Konstanz im zweiten Durchgang auftritt, handelt es sich bei der expliziten Form um ein Polynom zweiter Ordnung:
$$f(n) \ = \ [mm] A*n^2+B*n+C$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 08.07.2008 | | Autor: | Luniac |
Danke für die Begrüßung und die Antwort.
Hat mir schonmal einen Schritt weiter gebracht.
Aber mir ist momentan nicht klar, wie ich auf das "B" komme.
A dürfte 1 sein, da sich die Segmente in der zweiten Ordnung nur um 1 Addieren.
C dürfte 2 sein, da bei Index 1 der Wert 3 steht?
Oder wie errechne ich die Buchstaben?
Entschuldigung, vielleicht ist es ganz einfach und ich habe einfach nur Bretter vor'm Kopf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 08.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Einfacher als du denkst :) nimm dir einfach 3 beliebige "Punkte" sozusagen.
Also P(index|Folgeglied). z.B. die ersten 3: [mm] P_1(1|3), P_2(2|5), P_3(3|8).
[/mm]
Die 3 Punkte in die allgemeine Gleichung eingesetzt, liefert dir ein lineares Gleichungssystem, das es zu lösen gilt!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Di 08.07.2008 | | Autor: | Luniac |
Alles klar, sehr verständlich.
Habe die Gleichungen gelöst, und komme nun auf:
[mm] \bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{2}n+2
[/mm]
Dies ist ja aber nicht die Lösung. Eigentlich müsste statt es ja lauten:
[mm] \bruch{1}{2}(n-1)^2+\bruch{1}{2}(n-1)+2
[/mm]
Wie ist das zu erklären?
aber schonmal ein dickes Danke für diesen Lösungsansatz!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 08.07.2008 | | Autor: | Luniac |
natürlich falsch
statt n-1 sollte es n+1 heissen.
Kann dies leider nicht mehr editieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Di 08.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah, sorry, mein Fehler. Ich bin davon ausgegangen, dass [mm] a_1=3 [/mm] ist, aber bei dir ist ja [mm] a_0=3.
[/mm]
Dadurch sind natürlich natürlich alle Werte um 1 verschoben. Berichtigen kannst du das, indem du dann alle x in deiner Gleichung durch (x+1) ersetzt! Das ist dann auch die richtige Lösung.
Natürlich könntest du auch nochmal das Gleichungssystem mit [mm] P_1(0|3), P_2(1|5), P_3(2|8) [/mm] lösen, kommt aufs gleiche raus :)
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 08.07.2008 | | Autor: | Luniac |
Super, habs verstanden.
Wenn man den Dreh erstmal raus hat, ist das ja ganz easy.
Danke an euch beide!
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