Umformung sinus < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 03.02.2008 | | Autor: | MischiT1 |
Hallo!
Ich hab mal eine Frage zu einer Umformung, die wir in der FH gemacht haben.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{sin(x)}{x})^2 [/mm] = 1 $
Wie kommt man auf das Ergebnis. Wir haben dazu irgendwie nix aufgeschrieben und im Papula find ich auch nix dazu. Wenn ich wüsste wo es im Papula steht könnte ich auch selber nachschaun.
MfG Michael
|
|
| |
|
Hallo Michael,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{sin(x)}{x})^2 = 1[/mm]
Vielleicht geht's auch ohne ![[]](/images/popup.gif) l'Hospital aber so muß man nicht zu lange darüber nachdenken:
[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{\sin x}{x}} \stackrel{\texttt{Fall }\frac{0}{0}}{=}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos x}{1}}=1[/mm]
Wegen der Rechenregeln zu Grenzwerten gilt:
[mm]\lim_{x\to 0}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2} =1^2=1[/mm]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 03.02.2008 | | Autor: | MischiT1 |
Es steht aber da, dass man das ohne L´Hospital lösen soll. Sonst wäre das ja total einfach.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 03.02.2008 | | Autor: | abakus |
Es geht auch geometrisch. Zeichne dir mal einen Einheitskreis und wähle dir einen Punkt P auf dem Kreis im 1. Quadranten. Die Bogenlänge von der waagerechten Achse bis zu dem gewählten Punkt sei x. Der Punkt P selbst hat dann die Koordinaten [mm] P(\cos x|\sin [/mm] x). Vom Ursprung aus zeichnest du einen Strahl über P hinaus. Im Punkt (1|0) kannst du die Tangente an die Einheitskreis legen. Sie schneidet deinen Strahl von O durch P in einem Punkt Q. Ach, und von P wird noch das Lot auf die waagerechte Achse gefällt.
Jetzt hast du drei ständig größer werdende, ineinander liegende Flächen:
- ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen [mm] \cos [/mm] x und [mm] \sin [/mm] x,
- einen Kreissektor mit r=1 und der Bogenlänge x
- ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 1 und [mm] \tan [/mm] x.
Für deren Inhalte gilt:
[mm] 0,5*\sin [/mm] x* [mm] \cos [/mm] x [mm] \le 0,5*x\le 0,5*\bruch{\sin x} {\cos x}
[/mm]
Multiplizieren mit 2 und dividieren von [mm] \sin [/mm] x liefert
[mm] \cos [/mm] x [mm] \le \bruch{x}{\sin x}\le \bruch{1} {\cos x}
[/mm]
Wenn x gegen Null geht, konvergiert der linke Term "von unten" gegen 1 und der rechte Term "von oben" gegen 1 (und der Term in der Mitte liegt zwischen beiden Schranken und konvergiert damit zwangsläufig gegen 1.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 03.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Michael
Forme mal um:
[mm] \sin²(x)=1-\cos²(x)
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{sin(x)}{x})^2
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{\sin²(x)}{x²}) [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{1-\cos²(x)}{x²})
[/mm]
Hilft das weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 So 03.02.2008 | | Autor: | MischiT1 |
Marius das bringt irgendwie nix, das das [mm] x^2 [/mm] immer noch 0 wird.
|
|
|
|
