Umformung von Brüchen mit Vari < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Do 25.10.2012 | | Autor: | aivo |
| Aufgabe | Forme folgende Gleichung um!
(1/n)*(1-(1/(n+1))) = 1/(n+1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich brauche etwas Hilfe bei meiner Hausaufgabe.
Folgendes soll ich umformen:
(1/n)*(1-(1/(n+1))) = 1/(n+1)
Das hier war mein Versuch:
(1*(1/n))-((1/n)*(1/(n+1)) = 1/(n+1)
(1/n)-((1/n)*(1/(n+1)))=1/(n+1)
[mm] (1/n)-(1/(n^2+1))=1/(n+1)
[/mm]
hier komme ich nicht weiter. Wenn ich die Klammer wie eine Minusklammer entferne muss es dann [mm] n^2-1 [/mm] heißen?
Um die beiden Brüche zu subtrahieren müsste ich ja auch den ersten Bruch erweitern? Wie sollte denn das funktionieren?
Ich habe das keine Ideen mehr. Bitte um Tipps.
Grüße,
|
|
| |
|
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Meinst du diese Gleichung:
[mm] \bruch{1}{n}*\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)=\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Die Gleichung ist ja gültig für alle [mm] n\in\IR\backslash\{-1;0\}, [/mm] d.h., ob Term oder Gleichung, man muss den Definitionsbereich angeben!
Vermutlich ist es so gemeint, dass man die Gleichheit zeigen soll. Falls dem so ist, bist du viel zu umständlich vorgegangen: löse die Klammer zunächst nicht auf, sondern multipliziere komplett mit n*(n+1) durch. Dann löst sich alles wie von selbst in Wohlgefallen auf...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Do 25.10.2012 | | Autor: | aivo |
Eigentlich ist das ne Uni Hausübung zu Induktion, nur beim umformen bin ich nicht weitergekommen. Ich wollte die Frage nicht so komplett stellen, damit es keine Plagiatprobleme gibt ;)
Man soll Nachweisen. dass n [mm] \ge [/mm] 2 gilt.
Also ich bin jetzt soweit gekommen:
[mm] \bruch{1}{n} \* (1-\bruch{1}{n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] | [mm] \* [/mm] n [mm] \*(n+1)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} \* (1-\bruch{1}{n+1})\*n\*(n+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} \*n\*(n+1)
[/mm]
[mm] \bruch{n\*(n+1)}{n}\*(1-\bruch{1}{n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{n\*(n+1)}{n+1}
[/mm]
Die ns kürzen sich links weg und (n+1) rechts dann auch und übrig bleibt:
[mm] (n+1)\*(1-\bruch{1}{n+1}) [/mm] = n
Wie solls dann weitergehen? Ausmultiplizieren hat nichts gebracht, ich weiß echt nicht wieso ich so auf dem schlauch stehe
|
|
|
| |
|
Hallo aivo,
> Eigentlich ist das ne Uni Hausübung zu Induktion, nur beim
> umformen bin ich nicht weitergekommen. Ich wollte die Frage
> nicht so komplett stellen, damit es keine Plagiatprobleme
> gibt ;)
>
> Man soll Nachweisen. dass n [mm]\ge[/mm] 2 gilt.
??? Aus der Bruchgleichung soll folgen [mm]n\ge 2[/mm] ???
Gib mal den Wortlaut der Aufgabe wieder ...
>
> Also ich bin jetzt soweit gekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{n} \* (1-\bruch{1}{n+1})[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] | [mm]\*[/mm] n [mm]\*(n+1)[/mm]
Reichlich umständlich, wieso machst du in der Klammer nicht gleichnamig? Dann steht die Gleichheit [mm]\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}[/mm] da, und die gilt für alle n, für die die Bruchgleichung definiert ist, also für alle [mm]n\neq -1,0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n} \* (1-\bruch{1}{n+1})\*n\*(n+1)[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+1} \*n\*(n+1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{n\*(n+1)}{n}\*(1-\bruch{1}{n+1})[/mm] = [mm]\bruch{n\*(n+1)}{n+1}[/mm]
>
> Die ns kürzen sich links weg und (n+1) rechts dann auch
> und übrig bleibt:
>
> [mm](n+1)\*(1-\bruch{1}{n+1})[/mm] = n
>
> Wie solls dann weitergehen? Ausmultiplizieren hat nichts
> gebracht,
Wieso nicht? Dann steht doch linkerhand [mm]n+1-\frac{n+1}{n+1}=n+1-1=n[/mm]
Und das steht auch auf der rechten Seite, also alles gut ...
> ich weiß echt nicht wieso ich so auf dem
> schlauch stehe
Keine Ahnung, ich weiß auch gar nicht genau, was du zeigen willst?
Es sind jedenfalls beide Ausdrücke linkerhand und rechterhand des "=" in der Ausgangsgleichung "gleich"
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 25.10.2012 | | Autor: | aivo |
Danke dir für deine schnelle Antwort.
Ich hab das bisschen doof formuliert gehabt.
Aufgae lautete:
Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion folgende Aussagen:
a) Für alle [mm] n\ge2 [/mm] gilt [mm] \produkt_{i=2}^{n} (1-\bruch{1}{k})=\bruch{1}{n}
[/mm]
Ich hab dann A(2) gerechnet und das gilt. Danach wollte ich A(n+1) beweisen. So bin ich auch auf die Gleichung vom Anfang gekommen.
Kannst Du mir vielleicht sagen, wie Du durch ausmultiplizieren von
[mm](n+1)\*(1-\bruch{1}{n+1})[/mm] = n auf deine Lösung kommst? Ich komme auf folgendes, wenn man hiernach geht: [mm] (a+b)\*(c-d) [/mm] = a(c-d) + b(c-d)
[mm] n\*(1-\bruch{1}{n+1})+1\*(1-\bruch{1}{n+1}) [/mm] = n
und dann daraus
[mm] n-\bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] 1-\bruch{1}{n+1} [/mm] = n
Grüße,
|
|
|
| |
|
Hallo aivo,
> Aufgabe lautete:
>
> Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion folgende
> Aussagen:
>
> a) Für alle [mm]n\ge2[/mm] gilt [mm]\produkt_{i=2}^{n} (1-\bruch{1}{k})=\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Ich hab dann A(2) gerechnet und das gilt. Danach wollte ich
> A(n+1) beweisen. So bin ich auch auf die Gleichung vom
> Anfang gekommen.
>
> Kannst Du mir vielleicht sagen, wie Du durch
> ausmultiplizieren von
>
> [mm](n+1)\*(1-\bruch{1}{n+1})[/mm] = n auf deine Lösung kommst? Ich
> komme auf folgendes, wenn man hiernach geht: [mm](a+b)\*(c-d)[/mm] =
> a(c-d) + b(c-d)
>
> [mm]n\*(1-\bruch{1}{n+1})+1\*(1-\bruch{1}{n+1})[/mm] = n
>
> und dann daraus
>
> [mm]n-\bruch{n}{n+1}[/mm] + [mm]1-\bruch{1}{n+1}[/mm] = n
Gut, das ist halt komplizierter gerechnet, aber genauso richtig. Wo liegt jetzt das Problem?
Kürzer wäre [mm] (n+1)*\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)=(n+1)*\left(\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{1}{n+1}\right)=(n+1)*\bruch{n+1-1}{n+1}=n
[/mm]
...und das ist schon verflixt lang aufgeschrieben. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 25.10.2012 | | Autor: | aivo |
Ich bin blind oder nur blöd, aber ich weiß nicht wie Ihr alle aus meinem letzten Schritt sehen könnt, dass die linke Seite =n ist.
Ich meine was soll man da noch vereinfachen/ändern, damit nur n auf beiden Seiten steht.
Ich bin wohl durch die Taschenrechnerpflicht auf meiner ehem. Schule in solchen Umformungen wohl einfach aus der Übung.
Wie soll man denn das n+1 aus dem Nenner herausholen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ich beginne erst langsam zu verstehen, wo eigentlich das Problem liegt. Du kannst offenbar einfach echt keine Bruchrechnung mehr.
> Ich bin blind oder nur blöd, aber ich weiß nicht wie Ihr
> alle aus meinem letzten Schritt sehen könnt, dass die
> linke Seite =n ist.
>
> Ich meine was soll man da noch vereinfachen/ändern, damit
> nur n auf beiden Seiten steht.
>
> Ich bin wohl durch die Taschenrechnerpflicht auf meiner
> ehem. Schule in solchen Umformungen wohl einfach aus der
> Übung.
>
> Wie soll man denn das n+1 aus dem Nenner herausholen?
Ich machs mal ganz kleinschrittig:
Also, Du hast dies: [mm] n-\bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] 1-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Umordnen: [mm] n+1-\bruch{n}{n+1}-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
(-1) ausklammern: [mm] n+1-\left(\bruch{n}{n+1}\blue{+}\bruch{1}{n+1}\right)
[/mm]
Die beiden Brüche haben ja schon den gleichen Nenner, also kann man sie "auf einen Bruchstrich schreiben":
[mm] n+1-\bruch{n+1}{n+1}
[/mm]
Kürzen: [mm] n+1-\bruch{1}{1} [/mm] (vorausgesetzt ist hier: [mm] n\not=-1)
[/mm]
...und schließlich n+1-1=n
Grüße
reverend
|
|
|
|
