Umgebungsbasis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Ist X ein diskreter Raum und [mm] x\in [/mm] X, dann ist [mm] \{x\} [/mm] eine Umgebung von x, die in jeder Umgebung von x enthalten ist. Folglich ist [mm] \{\{x\}\} [/mm] eine Umgebungsbasis von x.
2. Wir betrachten den Sierpinski-Raum [mm] (X,\underline{X}) [/mm] mit [mm] X=\{0,1\} [/mm] und [mm] \underline{X}=\{\emptyset,\{0\},X\}. [/mm] Die offenen Umgebungen von 0 sind [mm] \underline{O}=\{\{0\},X\}. [/mm] Weitere Umgebungen von 0 gibt es nicht. Als Basis ist bereits [mm] \{\{0\}\} [/mm] ausreichend.
Die einzig abgeschlossene Umgebung von 0 in diesem Sierpinski-Raum ist X selbst. Die abgeschlossenen Umgebungen [mm] \underline{A}=\{X\} [/mm] sind folglich keine Umgebungsbasis von 0. |
Hallo zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit Umgebungsbasen und habe es meines Erachtens an den einfachen Beispielen kapiert - siehe Grafiken dazu:
Grafik 1: Sei [mm] X=R^2. [/mm] Die Menge der Kreise [mm] K_{\frac{1}{n}}(x) [/mm] vom Radius [mm] x=\frac{1}{n}, [/mm] n=1,2,... um x bildet eine Umgebungsbasis von x.
Grafik 3: Die offenen Umgebungen eines Punktes x bilden eine Umgebungsbasis von x. --> Jede Umgebung (z.B. U1) von x enthält eine Umgebung von x (z.B. U3), welche Umgebung all ihrer Punkte ist. Hier wäre die Menge aller Umgebungen U1,U2,U3. Während die Umgebungsbasis U1 und U2 sind. Richtig?
Grafik 2: In R(in der natürlichen Topologie) bilden die offenen Intervalle [mm] (x-\epsilon,x+\epsilon) [/mm] für [mm] \epsilon>0 [/mm] eine Umgebungsbasis von x. Es reichen schon die Umgebungen mit Radius [mm] \frac{1}{n}. \underline{V}=\{(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})|n\in N\} [/mm] ist also eine Umgebungsbasis von x.
Grafik 5: Auch die geschlossenen Intervalle [mm] [x-\epsilon,x+\epsilon] [/mm] für [mm] \epsilon>0 [/mm] bilden in R eine Umgebungsbasis von x.
Stimmt das alles?
Wie kann ich mir jetzt das mit [mm] \{\{x\}\} [/mm] und dem Sierpinski-Raum verdeutlichen bzw. veranschaulichen?
Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Fr 21.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1. Ist X ein diskreter Raum und [mm]x\in[/mm] X, dann ist [mm]\{x\}[/mm] eine
> Umgebung von x, die in jeder Umgebung von x enthalten ist.
> Folglich ist [mm]\{\{x\}\}[/mm] eine Umgebungsbasis von x.
> 2. Wir betrachten den Sierpinski-Raum [mm](X,\underline{X})[/mm]
> mit [mm]X=\{0,1\}[/mm] und [mm]\underline{X}=\{\emptyset,\{0\},X\}.[/mm] Die
> offenen Umgebungen von 0 sind [mm]\underline{O}=\{\{0\},X\}.[/mm]
> Weitere Umgebungen von 0 gibt es nicht. Als Basis ist
> bereits [mm]\{\{0\}\}[/mm] ausreichend.
> Die einzig abgeschlossene Umgebung von 0 in diesem
> Sierpinski-Raum ist X selbst. Die abgeschlossenen
> Umgebungen [mm]\underline{A}=\{X\}[/mm] sind folglich keine
> Umgebungsbasis von 0.
> Hallo zusammen!
> Ich beschäftige mich gerade mit Umgebungsbasen und habe
> es meines Erachtens an den einfachen Beispielen kapiert -
> siehe Grafiken dazu:
>
> Grafik 1: Sei [mm]X=R^2.[/mm] Die Menge der Kreise
> [mm]K_{\frac{1}{n}}(x)[/mm] vom Radius [mm]x=\frac{1}{n},[/mm] n=1,2,... um x
> bildet eine Umgebungsbasis von x.
Das stimmt, wenn [mm] \IR^2 [/mm] mit der natürlichen Topologie versehen ist.
>
> Grafik 3: Die offenen Umgebungen eines Punktes x bilden
> eine Umgebungsbasis von x. --> Jede Umgebung (z.B. U1) von
> x enthält eine Umgebung von x (z.B. U3), welche Umgebung
> all ihrer Punkte ist. Hier wäre die Menge aller Umgebungen
> U1,U2,U3. Während die Umgebungsbasis U1 und U2 sind.
> Richtig?
>
Nein, wenn der [mm] \IR^2 [/mm] wieder mit der natürlichen Topologie versehen ist. In dieser Topolgie hat jeder Punkt unendlich viele Umgebungen und jede Umgebungsbasis ist unendlich.
> Grafik 2: In R(in der natürlichen Topologie) bilden die
> offenen Intervalle [mm](x-\epsilon,x+\epsilon)[/mm] für [mm]\epsilon>0[/mm]
> eine Umgebungsbasis von x. Es reichen schon die Umgebungen
> mit Radius [mm]\frac{1}{n}. \underline{V}=\{(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})|n\in N\}[/mm]
> ist also eine Umgebungsbasis von x.
Stimmt.
>
> Grafik 5: Auch die geschlossenen Intervalle
wie oft noch ? Es heißt "abgeschlossen" und nicht "geschlossen"
> [mm][x-\epsilon,x+\epsilon][/mm] für [mm]\epsilon>0[/mm] bilden in R eine
> Umgebungsbasis von x.
Stimmt
FRED
>
> Stimmt das alles?
>
> Wie kann ich mir jetzt das mit [mm]\{\{x\}\}[/mm] und dem
> Sierpinski-Raum verdeutlichen bzw. veranschaulichen?
> Danke!
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Wie kann ich mir jetzt das mit $ [mm] \{\{x\}\} [/mm] $ und dem
Sierpinski-Raum verdeutlichen bzw. veranschaulichen? |
Das versteh ich noch nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 25.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Definition:
Es sei X ein topologischer Raum und [mm] x\in [/mm] X. Ein System [mm] \underline{V}\subset [/mm] U(x) heißt Umgebungsbasis von x, wenn für jede Umgebung U von x eine Teilmenge [mm] V\subsetU [/mm] in [mm] \underline{V}enthalten [/mm] ist. |
Eine Umgebungsbasis von x ist eine Menge B von Umgebungen von x, sodass es zu jeder Umgebung U von x eine Umgebung [mm] V\in [/mm] B gibt, sodass [mm] V\subset [/mm] U.
Wenn ich nur diese Definition vorliegen habe, woher weiß ich dann, dass eine Umgebungsbasis nicht unendlich sein darf?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 22.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Definition:
> Es sei X ein topologischer Raum und [mm]x\in[/mm] X. Ein System
> [mm]\underline{V}\subset[/mm] U(x) heißt Umgebungsbasis von x, wenn
> für jede Umgebung U von x eine Teilmenge [mm]V\subsetU[/mm] in
> [mm]\underline{V}enthalten[/mm] ist.
> Eine Umgebungsbasis von x ist eine Menge B von Umgebungen
> von x, sodass es zu jeder Umgebung U von x eine Umgebung
> [mm]V\in[/mm] B gibt, sodass [mm]V\subset[/mm] U.
>
> Wenn ich nur diese Definition vorliegen habe, woher weiß
> ich dann, dass eine Umgebungsbasis nicht unendlich sein
> darf?
>
> Danke!
Hä ?
Wer behauptet denn, dass eine Umgebungsbasis nicht unendlich sein
darf?
FRED
|
|
|
|
