Umkehrabbilddung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 [/mm] durch [mm] f(x,y)=(xe^y,ye^x) [/mm] gegeben.
(1) Zeige: f ist genau auf der Menge [mm] {(x,y)\in \mathbb{R}^2} [/mm] invertierbar.
(2) Zeige: Die Punkte (u,0),(0,v), [mm] u,v\in \mathbb{R} [/mm] werden genau einmal als Werte von f angenommen und berechne die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung an diesen Stellen. |
Hallo,
(1) ist klar,
(2) mir noch nicht.
Ich soll zeigen, dass f nur einmal auf (u,0) und (0,v) abbildet. Wie mache ich das aber? Muss ich irgendwas implizit definiertes suchen?
Zur Funktionalmatrix: Wenn ich die Punkte kenne, für die f eben auf (u,0) und (0,v) abbildet, dann berechne ich an diesen die Funktionalmatrix und invertiere dann, oder? Kann man das vllt auch anders machen?
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Di 23.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] durch
> [mm]f(x,y)=(xe^y,ye^x)[/mm] gegeben.
> (1) Zeige: f ist genau auf der Menge [mm]{(x,y)\in \mathbb{R}^2}[/mm]
> invertierbar.
> (2) Zeige: Die Punkte (u,0),(0,v), [mm]u,v\in \mathbb{R}[/mm]
> werden genau einmal als Werte von f angenommen und berechne
> die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung an diesen Stellen.
> Hallo,
>
> (1) ist klar,
> (2) mir noch nicht.
> Ich soll zeigen, dass f nur einmal auf (u,0) und (0,v)
> abbildet. Wie mache ich das aber? Muss ich irgendwas
> implizit definiertes suchen?
Hallo,
[mm] e^x [/mm] und [mm] e^y [/mm] sind nie Null. Die Null wird nur durch einen konkreten Vorfaktor erreicht.
Gruß Abakus
> Zur Funktionalmatrix: Wenn ich die Punkte kenne, für die f
> eben auf (u,0) und (0,v) abbildet, dann berechne ich an
> diesen die Funktionalmatrix und invertiere dann, oder? Kann
> man das vllt auch anders machen?
>
> Gruß Sleeper
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Hallo T_sleeper,
> Sei [mm]f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] durch
> [mm]f(x,y)=(xe^y,ye^x)[/mm] gegeben.
> (1) Zeige: f ist genau auf der Menge [mm]{(x,y)\in \mathbb{R}^2}[/mm]
> invertierbar.
> (2) Zeige: Die Punkte (u,0),(0,v), [mm]u,v\in \mathbb{R}[/mm]
> werden genau einmal als Werte von f angenommen und berechne
> die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung an diesen Stellen.
> Hallo,
> Zur Funktionalmatrix: Wenn ich die Punkte kenne, für die f
> eben auf (u,0) und (0,v) abbildet, dann berechne ich an
> diesen die Funktionalmatrix und invertiere dann, oder? Kann
> man das vllt auch anders machen?
Genau, an diesen Stellen berechnest Du die Funktionalmatrix
und invertierst diese dann.
>
> Gruß Sleeper
Gruß
MathePower
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> Genau, an diesen Stellen berechnest Du die
> Funktionalmatrix
> und invertierst diese dann.
>
>
> >
> > Gruß Sleeper
Gut.
Aber wie zeige ich das nun mit den Punkten? Auf den Punkt (u,0) wird ja nur abgebildet, sofern y=0 ist. Entsprechend ist x=0 für (0,v). Aber wie zeige ich jetzt genau, dass die Punkte nur einmal als Funktionswert von f angenommen werden?
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Hallo T_sleeper,
> > Genau, an diesen Stellen berechnest Du die
> > Funktionalmatrix
> > und invertierst diese dann.
> >
> >
> > >
> > > Gruß Sleeper
>
> Gut.
> Aber wie zeige ich das nun mit den Punkten? Auf den Punkt
> (u,0) wird ja nur abgebildet, sofern y=0 ist. Entsprechend
> ist x=0 für (0,v). Aber wie zeige ich jetzt genau, dass die
> Punkte nur einmal als Funktionswert von f angenommen
> werden?
>
Ist [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y\right) \\ f_{2}\left(x,y\right)}[/mm] dann kannst Du im Falle
[mm]f\left(x,y\right)=\pmat{u \\ 0}[/mm]
die Gleichung [mm]f_{2}\left(x,y\right)=0[/mm] lösen.
Und aus der Gleichung
[mm]f_{1}\left(x_{1},0\right)=f_{1}\left(x_{2},0)=u[/mm]
folgern, daß [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] gelten muß.
Gruß
MathePower
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> Hallo T_sleeper,
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> > > Genau, an diesen Stellen berechnest Du die
> > > Funktionalmatrix
> > > und invertierst diese dann.
> > >
> > >
> > > >
> > > > Gruß Sleeper
> >
> > Gut.
> > Aber wie zeige ich das nun mit den Punkten? Auf den
> Punkt
> > (u,0) wird ja nur abgebildet, sofern y=0 ist. Entsprechend
> > ist x=0 für (0,v). Aber wie zeige ich jetzt genau, dass die
> > Punkte nur einmal als Funktionswert von f angenommen
> > werden?
> >
>
>
> Ist [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y\right) \\ f_{2}\left(x,y\right)}[/mm]
> dann kannst Du im Falle
>
> [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{u \\ 0}[/mm]
>
> die Gleichung [mm]f_{2}\left(x,y\right)=0[/mm] lösen.
>
> Und aus der Gleichung
>
> [mm]f_{1}\left(x_{1},0\right)=f_{1}\left(x_{2},0)=u[/mm]
>
> folgern, daß [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] gelten muß.
>
>
> Gruß
> MathePower
ja richtig. Darauf hätte ich selbst kommen müssen.
Ich habe nun also f(x,0)=(x,0)=(u,0) und will nun die Funktionalmatrix berechnen und diese später invertieren, um die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung an der Stelle zu bekommen. Aber ist nicht:
[mm] Df(x_1,0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix} [/mm] und damit nicht invertierbar? Das geht doch nicht.
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Hallo T_sleeper,
> > Hallo T_sleeper,
> >
> >
> > > > Genau, an diesen Stellen berechnest Du die
> > > > Funktionalmatrix
> > > > und invertierst diese dann.
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Gruß Sleeper
> > >
> > > Gut.
> > > Aber wie zeige ich das nun mit den Punkten? Auf den
> > Punkt
> > > (u,0) wird ja nur abgebildet, sofern y=0 ist. Entsprechend
> > > ist x=0 für (0,v). Aber wie zeige ich jetzt genau, dass die
> > > Punkte nur einmal als Funktionswert von f angenommen
> > > werden?
> > >
> >
> >
> > Ist [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y\right) \\ f_{2}\left(x,y\right)}[/mm]
> > dann kannst Du im Falle
> >
> > [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{u \\ 0}[/mm]
> >
> > die Gleichung [mm]f_{2}\left(x,y\right)=0[/mm] lösen.
> >
> > Und aus der Gleichung
> >
> > [mm]f_{1}\left(x_{1},0\right)=f_{1}\left(x_{2},0)=u[/mm]
> >
> > folgern, daß [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] gelten muß.
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> ja richtig. Darauf hätte ich selbst kommen müssen.
>
> Ich habe nun also f(x,0)=(x,0)=(u,0) und will nun die
> Funktionalmatrix berechnen und diese später invertieren, um
> die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung an der Stelle zu
> bekommen. Aber ist nicht:
> [mm]Df(x_1,0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix}[/mm] und
> damit nicht invertierbar? Das geht doch nicht.
>
Die Funktionalmatrix mußt Du nochmal nachrechen.
Gruß
MathePower
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> Die Funktionalmatrix mußt Du nochmal nachrechen.
>
>
> Gruß
> MathePower
Hm, wie muss ich das denn machen? Erst allgemein ausrechnen, dann wäre
[mm] Df(x,y)=\begin{pmatrix}e^{y} & xe^{y}\\
ye^{x} & e^{x}\end{pmatrix} [/mm] und dann einsetzen von [mm] x=x_1 [/mm] und y=0?
Ansonsten komme ich immer wieder zu meinem vorigen Ergebnis.
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Hallo T_sleeper,
> > Die Funktionalmatrix mußt Du nochmal nachrechen.
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Hm, wie muss ich das denn machen? Erst allgemein
> ausrechnen, dann wäre
> [mm]Df(x,y)=\begin{pmatrix}e^{y} & xe^{y}\\
ye^{x} & e^{x}\end{pmatrix}[/mm]
> und dann einsetzen von [mm]x=x_1[/mm] und y=0?
Genau so.
>
> Ansonsten komme ich immer wieder zu meinem vorigen
> Ergebnis.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Do 25.06.2009 | | Autor: | kevini |
http://www.math.uni-bielefeld.de/~hoffmann/analysis2/lsg9.pdf
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