Umkehrabbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung f: [mm] \IR^2\to\IR^2, [/mm] welche für [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] durch
[mm] f(x,y)=\pmat{ cos(x) & cosh(x) \\ sin(x) & sinh(x) } [/mm] erklärt ist.
Untersuchen Sie f auf (lokale)Umkehrbarkeit. |
Hallo,
es gibt doch einen Satz über Inverse Funktionen, der besagt:
Sei [mm] f\in C^1(G\to\IR^m), [/mm] wobei [mm] g\subset \IR^m [/mm] eine offene, konvexe Menge ist. Und es sei ein Punkt [mm] x_0\in [/mm] G gegeben und auch [mm] y_0=f(x_0). [/mm] Man nehme an y’ sei nahe [mm] y_0. [/mm] Dann gilt:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] >0: [mm] \forall y’\in f((B_{\varepsilon}(x_0)) \exists^1x’\in\B_{\varepsilon}(x_0): [/mm] f(x’)=y’. Die Abblidung [mm] y’\mapsto [/mm] g(y’)=x’ ist differenzierbar und es gilt:
[mm] g’(y)=(f’(x))^{-1}, [/mm] y=f(x), [mm] \vert\vert y-y_0\vert\vert<\varepsilon.
[/mm]
Kann ich mit dieser Definition ansetzen?
Um meine Abbildung auf lokale Umkehrbarkeit zu untersuchen, müsste ich doch erstmal Punkte finden, an denen die Abbildung umkehrbart ist, um dann hier ansetzen zu können, oder?
Gruß
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> Gegeben sei die Abbildung f: [mm]\IR^2\to\IR^2,[/mm] welche für
> [mm](x,y)\in\IR^2[/mm] durch
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> [mm]f(x,y)=\pmat{ cos(x) & cosh(x) \\ sin(x) & sinh(x) }[/mm]
> erklärt ist.
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> Untersuchen Sie f auf (lokale)Umkehrbarkeit.
> Hallo,
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> es gibt doch einen Satz über Inverse Funktionen, der
> besagt:
>
> Sei [mm]f\in C^1(G\to\IR^m),[/mm] wobei [mm]g\subset \IR^m[/mm] eine offene,
> konvexe Menge ist. Und es sei ein Punkt [mm]x_0\in[/mm] G gegeben
> und auch [mm]y_0=f(x_0).[/mm] Man nehme an y’ sei nahe [mm]y_0.[/mm] Dann
> gilt:
>
> [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0: [mm]\forall y’\in f((B_{\varepsilon}(x_0)) \exists^1x’\in\B_{\varepsilon}(x_0):[/mm]
> f(x’)=y’. Die Abblidung [mm]y’\mapsto[/mm] g(y’)=x’ ist
> differenzierbar und es gilt:
>
> [mm]g’(y)=(f’(x))^{-1},[/mm] y=f(x), [mm]\vert\vert y-y_0\vert\vert<\varepsilon.[/mm]
>
> Kann ich mit dieser Definition ansetzen?
>
> Um meine Abbildung auf lokale Umkehrbarkeit zu untersuchen,
> müsste ich doch erstmal Punkte finden, an denen die
> Abbildung umkehrbart ist, um dann hier ansetzen zu können,
> oder?
>
> Gruß
Hallo Theoretix,
ich frage mich sehr, und ich frage dich: ist die
Aufgabenstellung korrekt wiedergegeben ??
Erstens: die Gleichung
[mm]f(x,y)=\pmat{ cos(x) & cosh(x) \\ sin(x) & sinh(x) }[/mm]
beschreibt gar keine Funktion von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR^2,
[/mm]
sondern von [mm] \IR^2 [/mm] in den Raum der reellen 2x2-Matrizen.
Oder soll etwa Folgendes gemeint sein ?
[mm]f(x,y)=\pmat{ cos(x) *cosh(x) \\ sin(x)*sinh(x) }[/mm]
Zweitens: da auf der rechten Seite der angegebenen
Gleichung y gar nicht auftritt, ist es für keinen
Bildpunkt (Bild-Matrix) f(x,y) möglich, daraus das
Urbild (x,y) eindeutig zu rekonstruieren.
Gib also bitte zuerst die Aufgabenstellung in klar
verständlicher Weise an.
LG Al-Chw.
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Hallo,
Also in der originalen Aufgabenstellung stehen dazwischen keine [mm] \cdot [/mm] auf, jedoch kann es sein, dass davon ausgegangen wird.
Und zu zweitens: Tut mir leid, selbstverständlich steht jeweils im zweiten Argument ein y, also:
$ [mm] f(x,y)=\pmat{ cos(x) \cdot{}cosh(y) \\ sin(x)\cdot{}sinh(y) } [/mm] $
Ich hoffe, so ist es verständlich dargestellt.
Grüße
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Hallo Theoretix,
> Hallo,
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> Also in der originalen Aufgabenstellung stehen dazwischen
> keine [mm]\cdot[/mm] auf, jedoch kann es sein, dass davon
> ausgegangen wird.
> Und zu zweitens: Tut mir leid, selbstverständlich steht
> jeweils im zweiten Argument ein y, also:
>
> [mm]f(x,y)=\pmat{ cos(x) \cdot{}cosh(y) \\ sin(x)\cdot{}sinh(y) }[/mm]
Für die lokale Umkehrbarkeit ist die
![[]](/images/popup.gif) Funktionaldeterminante von f zu untersuchen.
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> Ich hoffe, so ist es verständlich dargestellt.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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