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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
Durch die Surjektivität von f wird jedem y [mm] \in [/mm] N mindestens ein Urbild zugewiesen. g:N [mm] \to [/mm] M sei eine Funktion, die jedem y ein Urbild zuweist. Dann gilt :
f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_{N}
[/mm]
Ich will ja zeigen, dass f(g(y)) = y ist. Nun sei n [mm] \in [/mm] N und [mm] m\in [/mm] M. Wie suchen f(m) = n. Wir haben festgelegt: m = g(n).
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> Sei f:M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Beweisen Sie:
> f ist surjektiv und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : g(f(x)) = x
> [mm]\Rightarrow[/mm] g ist die Umkehrabbildung von f.
Hallo,
> Durch die Surjektivität von f wird jedem y [mm]\in[/mm] N
> mindestens ein Urbild zugewiesen.
Ja.
> g:N [mm]\to[/mm] M sei eine
> Funktion, die jedem y ein Urbild zuweist.
> Dann gilt :
>
> f [mm]\circ[/mm] g = [mm]id_{N}[/mm]
Das stimmt nicht.
Sei [mm] M:=\{1,2,3\}, N:=\{a,b\}
[/mm]
f(1):=a
f(2):=b
f(3):=b
f ist surjektiv.
Dei Funktion g mit
g(a):=1
g(b):=3
weist jedem Element von N ein Urbild unter f zu.
Es ist aber
g(f(1))=g(a)=1
g(f(2))=g(b)=3
g(f(3))=g(b)=3.
Ganz so, wie Du es Dir denkst, geht es also nicht.
Du mußt aber für g gar keine konkrete Funktion sagen.
Es geht nur darum: wenn man ein g hat, für welches gilt, daß g(f(x))=x f.a. x, dann ist g die Umkehrfunktion.
Wie dieses g aussieht, muß Dich im Moment gar nicht kümmern.
>
> Ich will ja zeigen, dass f(g(y)) = y
für alle [mm] y\in [/mm] N.
Ja, genau das ist die Aufgabe, das hast Du richtig erkannt.
Bew.: sei [mm] y\in [/mm] N.
Weil f surjektiv ist, gibt es ein [mm] y\in [/mm] N mit f(x)=y.
Es ist f(g(y))= f(g(...))= ... =...
Gruß v. Angela
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