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| Aufgabe | Ist die Funktion [mm] f:\IR\rightarrow\IR [/mm]
f(x)=x*sin(x) umkehrbar? |
Hallo.
Frage wie oben beschrieben.
Es gilt ja, dass eine Funktion umkehrbar (biijektiv) ist, wenn sie streng monoton fallend/steigend ist, also bspw. gilt [mm] x_{1}>x_{2} f(x_{1}>f(x_{2}).
[/mm]
Ich habe mir mal beim Sinus den Funktionswert 0 genommen.
Hätte ich Funktionswerte aufgelistet und sollte ich dem Funktionswert 0 einen Wert x aus dem Def-Bereich zuordnen, so würde ich auf unendlich viele 0 kommen, da die Sinusfunktion Periodizität aufweist.
So ist sie bei 0°=0 bei 360°=0 bei 2*360°=0 usw.
Daher gilt für [mm] x_{n}>x_{i} f(x_{n})=f(x_{i}).
[/mm]
Die Funktion ist nicht sreng monoton steigend oder fallend.
So richtig?
Grüße
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Huhu,
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> Frage wie oben beschrieben.
> Es gilt ja, dass eine Funktion umkehrbar (biijektiv) ist,
> wenn sie streng monoton fallend/steigend ist, also bspw.
> gilt [mm]x_{1}>x_{2} f(x_{1}>f(x_{2}).[/mm]
Ja, aber die Umkehrung gilt nicht!
> Die Funktion ist nicht sreng monoton steigend oder
> fallend.
Wie gesagt: Muss sie auch gar nicht. Es gibt durchaus auch nicht-monotone aber umkehrbare Funktionen, da die Umkehrung des obigen Satzes nicht gilt.
Zu obiger Funktion: Zeige, dass obige gerade (d.h. gespiegelt an der y-Achse) und damit nicht injektiv ist.
MFG,
Gono.
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Hallo und danke für die Antwort.
Das mit dem Spiegeln habe ich mir bereits gedacht (eben nur unter dem Vorwand der Periodizität), jedoch weiß ich nicht so richtig wie ich vorgehen soll.
Nimmt man die Standardparabel, so gilt ja f(x)=f(-x).
Bei der sinus Funktion ist diese Spiegelung ja um 180° also [mm] \pi [/mm] verschoben.
Ich weiß nicht so richtig, wie ich das formulieren kann.
f(x) ist sin (x). Spiegelung um 180° bzw. [mm] \pi [/mm] entfernt. f(x)= f(-(x-180)
Also bei der normalen Sinus-Funktion.
Es soll aber ja gelten f(x)=sin (x) * x.
AUs dem o.g wüsste ich das sin (x)= sin(-x+180). Durch ausprobieren, bin ich auf die Formel f(x)=f(-x(x-180)) gestoßen.
Ein wirklicher Beweis ist das jedoch nicht und bis ich auf die 2.Formel gestoßen bin, hat es auch wieder ein paar Minuten gebraucht und ich weiß nicht mal ob das richtig ist.
Ist die Vorgehensweise denn vom Ansatz richtig?
Falls nicht, wie sollte man vorgehen?
Grüße
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Huhu,
du denkst zu kompliziert:
Beginne mit [mm] $f(-x)=\ldots=f(x)$
[/mm]
Nutze aus, dass der Sinus ungerade ist (was bedeutet das?), dann stehts eigentlich schon da. Periodizität brauchst du dafür nicht.
MFG,
Gono.
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Hallo und danke für die Antwort.
Leider verstehe ich gerade nicht worauf du hinaus willst.
f(x)=sin x -> f(-x)=-sin (x)-> -sin(x)=sin(-x) [mm] f(x)\not=f(-x)
[/mm]
Wobei ich jedoch nicht weiß, warum sinus ungerade und cosinus gerade sein soll.
Wird damit einfach gemeint, dass wenn:
[mm] f(x)\notf(-x) [/mm] -> Funktion ungerade
f(x)=f(-x)-> Funktion gerade ?
Würde mich über Antworten freuen.
Grüße
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Huhu,
> Leider verstehe ich gerade nicht worauf du hinaus willst.
> f(x)=sin x -> f(-x)=-sin (x)-> -sin(x)=sin(-x)
Formal korrekt wäre: $f(-x) = [mm] \sin(-x)$ [/mm] aber es gilt [mm] $\sin(-x) [/mm] = [mm] -\sin(x)$
[/mm]
Und das ist gerade die Eigenschaft, die man als "ungerade" bezeichnet.
> [mm]f(x)\not= f(-x)[/mm] -> Funktion ungerade
> f(x)=f(-x)-> Funktion gerade ?
Nein. Eine Funktion heisst ungerade, wenn $f(-x) = -f(x)$ ist, d.h. sie am Ursprungspunkt gespiegelt ist.
Eine Funktion heisst gerade, wenn $f(x) = f(-x)$ gilt, d.h. sie ist an der y-Achse gespiegelt.
Und du sollst jetzt gerade ausnutzen, dass der Sinus ungerade ist, um zu zeigen, dass $f(-x) = f(x)$, d.h. die dir gegebene Funktion gerade ist.
Überlege dir, wieso jede gerade Funktion, deren Definitionsbereich mehr als die Null umfasst, niemals injektiv und damit niemals umkehrbar ist.
MFG,
Gono.
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Hallo und danke für die Antwort :). (selbst um diese Uhrzeit!)
Ich bin total verwirrt von dem f(x) und worauf sich dieses x in der Klammer bezieht:
Normalerweise definiere ich doch eine Funktion folgendermaßen:
f: [mm] D_{f} \rightarrow W_{f}
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] y
Für sinus bspw:
f: [mm] D_{f}\subset \IR \rightarrow [/mm] [-1;1]
x [mm] \mapsto [/mm] sin(x)
Wenn jetzt f(x)=y gilt, somit also f(x)=sin (x)=y gilt, so müsste doch für f(-x)=-sin (x)= -y gelten,oder?
Oder bezieht sich, dass x in f(x) nur auf das x in der Funktion?
D.h auch bei bspw. log(x)=f(x) -> f(-x)=log(-x).
Nun habe ich mich nochmal an die Funktion rangesetzt:
f(x)= sin x*x
f(-x)= sin(-x)*-x= -sin(x)*-x=(-1)*sin(x)*(-1)*x=(-1)*(-1)*sin(x)*(x)=1*sin(x)*x=f(x)
Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(-x)=f(x).
Injektivität bedeutet, dass jedes Element des Wertebereichs nur einmal als Funktionswert angenommen werden kann.
D.h wenn [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] dann folgt [mm] f(x_{1})\not=f(x_{2})
[/mm]
Es gilt: [mm] x\not=-x [/mm]
Für unsere Funktion gilt: f(x)=f(-x) Damit ist die Funktion nicht injektiv, da [mm] x\not=-x f(x)\not=f(-x) [/mm] erfüllt.
So richtig?
Grüße
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Huhu,
> Oder bezieht sich, dass x in f(x) nur auf das x in der Funktion?
> D.h auch bei bspw. log(x)=f(x) -> f(-x)=log(-x).
korrekt. Analog wäre doch auch bei $f(x) = [mm] \log(x)$ [/mm] eben gerade $f(2x) = [mm] \log(2x)$ [/mm] und nicht [mm] $2\log(x)$
[/mm]
> Nun habe ich mich nochmal an die Funktion rangesetzt:
>
> f(x)= sin x*x
> f(-x)= sin(-x)*-x=
> -sin(x)*-x=(-1)*sin(x)*(-1)*x=(-1)*(-1)*sin(x)*(x)=1*sin(x)*x=f(x)
>
> Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(-x)=f(x).
>
> Injektivität bedeutet, dass jedes Element des
> Wertebereichs nur einmal als Funktionswert angenommen
> werden kann.
> D.h wenn [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] dann folgt
> [mm]f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm]
> Es gilt: [mm]x\not=-x[/mm]
Als Ergänzung: Für [mm] $x\not= [/mm] 0$
> Für unsere Funktion gilt: f(x)=f(-x) Damit ist die
> Funktion nicht injektiv, da [mm]x\not=-x f(x)\not=f(-x)[/mm]
> erfüllt.
>
> So richtig?
perfekt 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 So 05.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Danke vielmals für die Hilfe.
Echt super! Das freut mich gerade richtig :)
Grüße
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