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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Umkehrfkt
Umkehrfkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Umkehrfkt: bildung, weg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Mo 08.02.2010
Autor: Kinghenni

Aufgabe
hi
ich brauche die umkehrfkt von [mm] g:(0,1)^2\to \IR [/mm]
[mm] g(x_1,x_2)=\wurzel{-2ln(x_1)}cos(2\pi*x_2) [/mm]

wie geh ich hier vor?
also bei nur einem x für ich ja nach x auflösen...problem: ich hab ja 2 x'se
also in meiner vorstellung müsste ja sowas rauskommen wir
[mm] (x1,x2)=f^{-1}(y) [/mm]
also vorweg...die fkt is bijektiv, daher müsste ja die umkehrfkt ex und komplett auf dem bereich def


        
Bezug
Umkehrfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Mo 08.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> hi
>  ich brauche die umkehrfkt von [mm]g:(0,1)^2\to \IR[/mm]
>  
> [mm]g(x_1,x_2)=\wurzel{-2ln(x_1)}cos(2\pi*x_2)[/mm]
>
>  wie geh ich hier vor?
>  also bei nur einem x für ich ja nach x
> auflösen...problem: ich hab ja 2 x'se
>  also in meiner vorstellung müsste ja sowas rauskommen
> wir
>  [mm](x1,x2)=f^{-1}(y)[/mm]
>  also vorweg...die fkt is bijektiv, daher müsste ja die
> umkehrfkt ex und komplett auf dem bereich def

Bist du dir da sicher, dass die Funktion bijektiv ist?! Es ist ja z.B. [mm] $g(x_1, [/mm] 0.25) = 0$ fuer alle [mm] $x_1$. [/mm]

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Umkehrfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 Mo 08.02.2010
Autor: Kinghenni

oje du hast völlig recht, danke felix
aber ich hab noch nie ne umkehrfkt mit mehreren variablen gemacht...
hab spontan bei google nix gefunden...
kann mir vll jmd bitte kurz das prinzip beschreiben?


Bezug
                        
Bezug
Umkehrfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:47 Mo 08.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> oje du hast völlig recht, danke felix
>  aber ich hab noch nie ne umkehrfkt mit mehreren variablen
> gemacht...
>  hab spontan bei google nix gefunden...
>  kann mir vll jmd bitte kurz das prinzip beschreiben?

Das geht genauso wie in einer Variablen, halt nur mit mehr als einer ;-)

Du versuchst halt, ein Gleichungssystem mit mehreren Variablen zu loesen. Im einfachsten Fall ist es linear, dann benutzt du Gausssche Elimination. Ist es nicht-linear, wird's meist schwierig.

Manchmal geht's aber auch einfach, wie etwa in diesem Beispiel:


Sei $g : [mm] \{ (x, y) \in \IR^2 \mid x \le y \} \to \{ (s, t) \in \IR^2 \mid s^2 \ge 4 t \}$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] (x + y, x y)$.

Man hat also $x + y = s$, $x y = t$, womit $x$ und $y$ Nullstellen von [mm] $z^2 [/mm] - s z + t [mm] \in \IR[z]$ [/mm] sind. Diese quadratische Gleichung hat die Loesungen [mm] $\frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4 t}}{2}$, [/mm] womit wegen $x [mm] \le [/mm] y$ gilt $x = [mm] \frac{s - \sqrt{s^2 - 4 t}}{2}$, [/mm] $y = [mm] \frac{s + \sqrt{s^2 - 4 t}}{2}$. [/mm]

Die Umkehrfunktion lautet also $f : (s, t) [mm] \mapsto (\frac{s - \sqrt{s^2 - 4 t}}{2}, \frac{s + \sqrt{s^2 - 4 t}}{2})$. [/mm]


LG Felix


Bezug
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