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Hallo.Hab ne Frage zu einer Umkekrfunktion!
Berechne die Umkehrfunktion arsinh(x)[Areasinushyperbolikus]
Ich weiß: arsinh(x)=sinh(x)^-1
ich tue mir noch schwer beim berechnen der Umkehfunktion:
ich weiß außerdem: [mm] sinh(x)=(e^x-e^-x)/2 [/mm]
Wie komme ich auf sinh(x)^-1 ????
daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Daniel
> Hallo.Hab ne Frage zu einer Umkekrfunktion!
>
> Berechne die Umkehrfunktion
> arsinh(x)[Areasinushyperbolikus]
>
Das ist mir nicht klar! Ist das in den eckigen Klammern einfach eine Umschreibung, was $arsinh(x)$ sein soll?? Wie lautet die Aufgabe ganz exakt?
> Ich weiß: arsinh(x)=sinh(x)^-1
>
Irgendwie habe ich das Gefühl, dass du da etwas verwechselst!
Nach meiner Erinnerung gilt: [mm] $sinh(x)^{2}+1=\cosh(x)^{2}$
[/mm]
> ich tue mir noch schwer beim berechnen der Umkehfunktion:
>
> ich weiß außerdem: [mm]sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2[/mm]
>
Ja, das kann ich bestätigen! 
Ich bitte dich: poste doch die exakte Aufgabenstellung nochmals! Vielleicht ist sie ja ganz trivial? (Weil ja die Umkehrfunktion von $arsinh$ der $sinh$ ist!)
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
jetzt könnte ich errraten haben, was gemeint sein könnte:
Du willst arsinh(x) explizit angeben (ohne sinh(x)).
Anders weiß ich deine Frage momentan nicht zu verstehen.
arsinh(x)=sinh(x)^-1
Ja, das stimmt:
Die Umkehrfunktion zu sinh(x) ist der arsinh(x) (und umgekehrt):
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Areasinus_Hyperbolicus
> ich weiß außerdem: $ [mm] sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2 [/mm] $
Wir merken uns diese Formel:
(I) $ [mm] sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} [/mm] $
Ja, Paul hatte das schon bestätigt, ich tue das auch und bestätige es nochmal und zusätzlich mit einem Link:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus
Nun, bei der Umkehrfunktion (Bemerkung: $sinh$ ist bijektiv und:
$sinh: [mm] \IR \rightarrow \IR$) [/mm] gibt man sich ja praktisch einen Wert $y$ aus dem Zielbereich vor und will dann daraus den zugehörigen $x$-Wert aus dem Definitionsbereich berechnen.
Nehmen wir mal an, wir hätten ein $y$ aus dem Zielbereich fest gegeben. Dann suchen wir ein $x$ mit:
$sinh(x)=y$
Mit (I) erhalten wir:
[mm] $\frac{e^x-e^{-x}}{2}=y$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $e^x-e^{-x}=2y$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(e^x)^2-2y*e^x-1=0$.
[/mm]
Substituiert man nun [mm] $u:=e^x$, [/mm] so erhält man aus letzter Gleichung:
$u²-2y*u-1=0$.
Mit der p-q-Formel:
[mm] $u_{1,2}=y \pm \wurzel{y²+1}$.
[/mm]
Und weil wir [mm] $u=e^x$ [/mm] substituiert hatten, ist nur:
[mm] $u_1=y+\wurzel(y²+1)$ [/mm] für die Lösung relevant (weil ja [mm] $\wurzel{y²+1} [/mm] > y$ gilt, und damit ist stets [mm] $u_2=y-\wurzel{y²+1} [/mm] < 0$ ; die Exponentialfkt. ist aber stets $>0$).
Damit haben wir also die Gleichung:
[mm] $e^x=y+\wurzel(y²+1)$ [/mm] noch nach $x$ aufzulösen:
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x=ln(y+\wurzel(y²+1))$
[/mm]
Damit errechnet sich die Umkehrfunktion des $sinh(x)$ zu:
[mm] $sinh^{(-1)}(y)=ln(y+\wurzel(y²+1))$, [/mm] und wir schreiben ja Funktionen in Abhängigkeit von $x$ und nicht von $y$, also ersetzen wir noch das $y$ durch $x$:
[mm] $sinh^{(-1)}(x)=ln(x+\wurzel(x²+1))$
[/mm]
Und nun ersetzen wir noch [mm] $sinh^{(-1)}(x)$ [/mm] durch $arsinh(x)$, weil das das gleiche ist:
[mm] $arsinh(x)=ln(x+\wurzel(x²+1))$.
[/mm]
Wir denken (zur Kontrolle) noch kurz nach, ob etwa für gewisse $x$ die Ungleichung [mm] $x+\wurzel(x²+1) \le [/mm] 0$ gelten könnte, denn dann hätten wir ein Problem, weil dann der $ln$ nicht existieren würde.
Weil aber [mm] $\wurzel(x²+1) [/mm] > [mm] \wurzel(x²)=|x|$ [/mm] gilt, gilt auch:
[mm] $x+\wurzel(x²+1) [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
(Beachte: Es gilt : $x+|x| [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\forall$ [/mm] $x [mm] \in \IR$, [/mm] und damit:
[mm] $x+\wurzel(x²+1) [/mm] > x + |x| [mm] \ge [/mm] 0$)
Schwein gehabt! 
Und zur Kontrolle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Areasinus_Hyperbolicus
Bei Fragen: fragen!
Liebe Grüße
Marcel
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[mm](e^x)^2-2y\cdot{}e^x-1=0[/mm]
--> Wie kommst du auf diese zeile
danke habe meinen Fehler verstanden-hatte die gleiche idee nur nicht die richtige durführung !!
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