Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Di 25.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Für [mm] A,B \in \IR [/mm] sei [mm] f: \IR \to \IR, x \to f(x):=x^3+Ax^2+Bx [/mm]
Zeigen Sie, dass f im Fall [mm] A^2<3B [/mm] eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt und berechnen Sie [mm] (f^{-1})'(0) [/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
die Differenzierbarkeit für [mm] A^2<3B [/mm] kann ich zeigen, weil für die Ableitung dann eine Parabel ohne Nullstellen rauskommt.
Aber wie kommt man auf die Einschränkung [mm] A^2<3B [/mm] aus der Ableitungsformel [mm] f'(x)=3x^2+2Ax+B [/mm] ... das darf nicht 0 werden ... also [mm] 3x^2+2Ax+B \not= 0 [/mm] stehe irgendwie auf dem Schlauch ?
Ausserdem weiss ich nicht, wie ich [mm] (f^{-1})'(0) [/mm] berechnen kann:
[mm] (f^{-1})'(0) = \bruch{1}{3x^2+2Ax+B}[/mm]
Allg. gilt, [mm] f(a)=b, f^{-1}(b)=a [/mm], also muss ich hier überlegen, wann [mm] 3x^2+2Ax+B = 0 [/mm] wird ... im Nenner ? ... oder wie geht das ?
Danke, Susanne.
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[mm] f(x)=x^3+Ax^2+Bx, f'(x)=3x^2+2Ax+B
[/mm]
Nun soll f'(x) nie negativ werden, also überall [mm] f'(x)\ge0. [/mm] Du hast eine nach oben offene Parabel. Ihr Minimum muss also mindestens den Funktionswert 0 haben. Minimum bestimmen:
[mm] f''(x_0)=6x_0+2A=0 \Rightarrow x_0=-\bruch{1}{3}A
[/mm]
einsetzen: [mm] \Rightarrow f'(x_0)=\bruch{1}{3}A^2-\bruch{2}{3}A^2+B=-\bruch{1}{3}A^2+B\ge0 \Rightarrow 3B\ge \a{}A
[/mm]
Dass Deine Aufgabe hier die Gleichheit ausschließt, soll nur die Untersuchung der Umkehrbarkeit erleichtern. Ein netter Zug...
Im übrigen musst Du ja nicht die Umkehrfunktion bestimmen, sondern nur deren Ableitung an einer Stelle.
Es gilt überall: [mm] f'*(f^{-1})'=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 25.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo reverend,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
> einsetzen: [mm]\Rightarrow f'(x_0)=\bruch{1}{3}A^2-\bruch{2}{3}A^2+B=-\bruch{1}{3}A^2+B\ge0 \Rightarrow 3B\ge \a{}A[/mm]
Ah, das habe ich jetzt verstanden, vielen Dank !!
>
> Dass Deine Aufgabe hier die Gleichheit ausschließt, soll
> nur die Untersuchung der Umkehrbarkeit erleichtern. Ein
> netter Zug...
... der im 2. Teil der Aufgabe leider zurückgenommen wird 
Der lautet nämlich: Zeigen Sie, dass f auch im Fall [mm] A^2=3B [/mm] eine Umkehrfunktion besitzt.
>
> Im übrigen musst Du ja nicht die Umkehrfunktion bestimmen,
> sondern nur deren Ableitung an einer Stelle.
> Es gilt überall: [mm]f'*(f^{-1})'=1[/mm]
Bedeutet das, ich setze in [mm] f^{-1} [/mm] für x einfach 0 ein:
[mm] (3x^2+2Ax+B) \cdot \bruch{1}{B}= 1 [/mm] und das ausrechnen ?
Danke, Susanne.
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> netter Zug...
> ... der im 2. Teil der Aufgabe leider zurückgenommen wird
Nein, wie gemein.
> > Es gilt überall: [mm]f'*(f^{-1})'=1[/mm]
> Bedeutet das, ich setze in [mm]f^{-1}[/mm] für x einfach 0 ein:
> [mm](3x^2+2Ax+B) \cdot \bruch{1}{B}= 1[/mm] und das ausrechnen ?
Woher hast Du denn [mm] \bruch{1}{B} [/mm] ?
Ein Punkt auf dem Graph habe die Koordinaten [mm] \hat{x},\hat{y}. [/mm] Er liegt auf dem Graphen, weil er die Bedingung [mm] \hat{y}=f(\hat{x}) [/mm] erfüllt. Wenn [mm] f(\hat{x}) [/mm] umkehrbar ist, dann existiert [mm] f^{-1}(\hat{y}), [/mm] so dass [mm] \hat{x}=f^{-1}(\hat{y}). [/mm] Nun gilt [mm] f'(\hat{x})*f^{-1}'(\hat{y})=1, [/mm] wobei die abgekürzte Schreibweise mit dem "Strich" (') hier etwas irreführend sein kann, weil ja f nach dx abgeleitet wird, [mm] f^{-1} [/mm] aber nach dy!
Trotzdem lässt sich die Gleichung verwenden und netterweise ja umformen zu [mm] f^{-1}'(\hat{y})=\bruch{1}{f'(\hat{x})}
[/mm]
So brauchst Du noch nicht einmal [mm] (f^{-1})' [/mm] zu bestimmen, sondern nur einen einzigen Funktionswert von f', und das hast Du ja schon explizit vorliegen.
>
> Danke, Susanne.
Gern doch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 25.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo reverend,
wieder vielen vielen Dank für Deine tolle Hilfe die ausführliche Erklärung !
> Ein Punkt auf dem Graph habe die Koordinaten
> [mm]\hat{x},\hat{y}.[/mm] Er liegt auf dem Graphen, weil er die
> Bedingung [mm]\hat{y}=f(\hat{x})[/mm] erfüllt. Wenn [mm]f(\hat{x})[/mm]
> umkehrbar ist, dann existiert [mm]f^{-1}(\hat{y}),[/mm] so dass
> [mm]\hat{x}=f^{-1}(\hat{y}).[/mm] Nun gilt
> [mm]f'(\hat{x})*f^{-1}'(\hat{y})=1,[/mm] wobei die abgekürzte
> Schreibweise mit dem "Strich" (') hier etwas irreführend
> sein kann, weil ja f nach dx abgeleitet wird, [mm]f^{-1}[/mm] aber
> nach dy!
>
> Trotzdem lässt sich die Gleichung verwenden und netterweise
> ja umformen zu [mm]f^{-1}'(\hat{y})=\bruch{1}{f'(\hat{x})}[/mm]
>
> So brauchst Du noch nicht einmal [mm](f^{-1})'[/mm] zu bestimmen,
> sondern nur einen einzigen Funktionswert von f', und das
> hast Du ja schon explizit vorliegen.
Hmm, irgendwie hakts leider bei mir:
Muss ich denn jetzt ermitteln, für welche x die Gleichung [mm] 3x^2+2Ax+B=0[/mm] wird ?
Also, ist [mm] (f^{-1})'(0)=-\bruch{A}{3} [/mm] ?
VIELEN DANK !! Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Di 25.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hmm, vielleicht hakt's jetzt eher bei mir.
Ich lasse die Frage daher mal auf "unbeantwortet" und schreibe nur eine Mitteilung.
Eigentlich hast Du Recht, Du müsstest hier ja [mm] \hat{y}=0 [/mm] als Stelle nehmen und damit tatsächlich eine Nullstelle des Polynoms in x.
Ich nahm an, gemeint sei die Stelle x=0. Das war voreilig.
Mal sehen, was andere meinen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 26.11.2008 | | Autor: | reverend |
Bitte um Hilfe: was ist hier gemeint, x=0 oder y=0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(0)=0 also [mm] f^{-1}(0)=0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 26.11.2008 | | Autor: | reverend |
Wie hieß doch gleich das animierte icon, das sich auf den Kopf hämmert?
Behold, my eyes were held in blindness.
Danke also erstmal, leduart!
Dennoch: wenn nun der Nullpunkt nicht Teil der Funktion gewesen wäre, hätte ich dann [mm] \hat{x}=0 [/mm] oder [mm] \hat{y}=0 [/mm] eingesetzt? Gäbe die Aufgabenstellung darüber Aufschluss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
natuerlich f=0, denn [mm] f^{-1} [/mm] ist ja auf f angewandt. Ich glaub das ist dein y
Gruss leduart
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