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Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Di 18.08.2009
Autor: deltax

Aufgabe
Umkehrfunktion von:

a(t) = w * ( t + b * exp(-t/b) - b)

w, b konst

Hallo,

Ich suche die Umkehrfuntion (auflösung nach "t", t(a)=...) der obigen Funktion. Zur Vereinfachung habe ich mal w=b=1 gesetzt. Ich komme leider nicht drauf, wie ich "a(t) = t + exp(-t) - 1" nach "t" auflösen kann.

Hinweise zur Lösung wären super.
Danke.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Umkehrfunktion: nicht geschlossen lösbar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Di 18.08.2009
Autor: Loddar

Hallo deltax,

[willkommenmr] !!


Diese Gleichung ist m.E. nicht geschlossen nach $t \ = \ ...$ auflösbar.

Wie lautet denn die exakte Aufgabenstellung? Sollst Du zeigen, dass diese Funktion umkehrbar ist?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Do 20.08.2009
Autor: deltax

Aufgabe
Motor Beschleunigung:

[mm] w_{a} [/mm] : Winkelgeschwindigkeit
[mm] a_{a} [/mm] : Winkel

[mm] w_{a} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm]  * (1 - exp(-t/b))

[mm] a_{a} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{w_{b} dt} [/mm]

[mm] a_{a} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm]  * (t - b *  exp(-t/b) - b)


Motor Bremsen:

[mm] w_{d} [/mm] : Winkelgeschwindigkeit
[mm] a_{d} [/mm] : Winkel

[mm] w_{d} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm] * exp(-t/b)

[mm] a_{d} [/mm] = [mm] \integral_{t_{s}}^{t_{h}}{w_{d} dt} [/mm]

[mm] a_{d} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm] * b * (- [mm] exp(-t_{h}/b) [/mm] + [mm] exp(-t_{s}/b) [/mm] )

[mm] t_{s} [/mm] : Umschaltzeitpunkt zwischen Beschleunigen und Bremsen
[mm] t_{h} [/mm] : Zeitpunkt zu der der Motor quasi stillsteht

[mm] t_{h} [/mm] = -b * ln(x)

x: Wert an dem ich annehme das der Motor stillsteht, aufgrund der e-Funktion würde Null ja nie erreicht werden, allerdings würde Reibung den Motor irgendwann anhalten.

Zurückgelegter Winkel:
a = [mm] a_{b} [/mm] + [mm] a_{d} [/mm]

Gesucht: Der Zeitpunkt an dem zwischen Beschleunigen und Bremsen umgeschaltet werden muss.

Die Aufgabe habe ich mir selber gestellt, beim Umformen der Gleichungen kamm ich immer wieder auf die Gleichung oder eine ähnliche die ich in meinem ersten Beitrag beschrieben hatte.

Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Do 20.08.2009
Autor: leduart

Hallo
1. im ersten Integral ist ein vorzeichenfehler.
2. du kannst das nur numerisch nach t aufloesen.

(wieso nimmst du eine exponentielle Winkelbeschleunigung)Beschleunigung?)schon Gleichngen der form [mm] x=e^x [/mm] kann man nicht explizit loesen.
Gruss leudart

Bezug
                                
Bezug
Umkehrfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Do 20.08.2009
Autor: deltax

Hallo,

Danke für die Antwort.
Ja den Vorzeichen Fehler hab ich falsch abgetipt, sorry.

Ok, ich werds Numerisch machen, hatte auch schon die Vermutung das das nicht anders geht.

Ich werde

a = [mm] a_a [/mm] + [mm] a_d [/mm]

zu

a = [mm] a_a [/mm] + [mm] a_d [/mm] + e

erweitern, woraus folgt:

e = a - [mm] a_a [/mm] - [mm] a_d [/mm]

t verändere ich dann solange bis der Fehler "e" einen vorgegebenen Wert unterschreitet.



Bezug
        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Di 18.08.2009
Autor: Andrey

Zum einen scheint mir eine explizite Auflösung nach t mit elementaren Funktionen unmöglich zu sein, zum anderen würde ich gerne mal den Definitionsbereich sehen, sowas wie [mm] $e^{-t}+t+c$ [/mm] ist beispielsweise mit Sicherheit nicht injektiv.


Bezug
        
Bezug
Umkehrfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Do 20.08.2009
Autor: SKYMEMiC

Guck dir das mal an, vielleicht hilft dir das:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%5Ba+%3D+w+%2A+%28+t+%2B+b+%2A+exp%28-t%2Fb%29+-+b%29%2C+t%5D

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