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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Do 16.02.2012 | | Autor: | Malte89 |
| Aufgabe | | Skizzieren Sie den Graphen der Funktion $f(x) = [mm] \ln (x^2 [/mm] -4) [mm] \text{ für } |x| [/mm] > 2$, geben Sie - falls vorhanden - die Umkehrfunktion $y = [mm] f^{-1} [/mm] (x)$ an, deren Wertebereich und Definitionsbereich und skizzieren Sie [mm] $f^{-1} [/mm] (x)$ |
Guten Abend liebe Umkehrer,
ich verstehe nicht, warum eine Umkehrung hier nicht möglich sein soll. So steht es jedenfalls in der Lösung.
Umkehren würde ich so:
$y = [mm] \ln (x^2 [/mm] -4)$
$ [mm] \Longrightarrow e^y [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] - 4)$
$ [mm] \Longrightarrow e^y [/mm] +4 = [mm] x^2 [/mm] $
[mm] $\Longrightarrow [/mm] x = [mm] \sqrt{e^y + 4}$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow [/mm] y = [mm] \sqrt{e^x +4} [/mm] $
Ich denk $|x| > 2 $ muss halt sein, damit man nur positive Zahlen logarithmiert... also eine notwendige Nebenbedingung. Dieser Definitionsbereich wird dann wohl zum Wertebereich. Aber ich versteh nicht, warum diese Umkehrung nicht möglich ist, denn ich kann doch in $y = [mm] \sqrt{e^x +4} [/mm] $ alles einsetzen, denn [mm] $e^x$ [/mm] wird bei negativen Zahlen, die im Wertebereich von f(x) vorkommen ja allerhöchstens 0 und dann ziehe ich nur noch die Wurzel aus 4. Wo ist mein Fehler?
Malte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Do 16.02.2012 | | Autor: | glie |
> Skizzieren Sie den Graphen der Funktion [mm]f(x) = \ln (x^2 -4) \text{ für } |x| > 2[/mm],
> geben Sie - falls vorhanden - die Umkehrfunktion [mm]y = f^{-1} (x)[/mm]
> an, deren Wertebereich und Definitionsbereich und
> skizzieren Sie [mm]f^{-1} (x)[/mm]
> Guten Abend liebe Umkehrer,
Hallo
>
> ich verstehe nicht, warum eine Umkehrung hier nicht
> möglich sein soll. So steht es jedenfalls in der Lösung.
>
> Umkehren würde ich so:
> [mm]y = \ln (x^2 -4)[/mm]
> [mm]\Longrightarrow e^y = (x^2 - 4)[/mm]
>
> [mm]\Longrightarrow e^y +4 = x^2[/mm]
Bis hierher ist das ok, aaaber jetzt
> [mm]\Longrightarrow x = \sqrt{e^y + 4}[/mm]
Die Wurzel aus [mm] $x^2$ [/mm] ist $|x|$
Das heisst also
$x= [mm] \sqrt{e^y + 4}$ [/mm] oder $x=- [mm] \sqrt{e^y + 4}$
[/mm]
Und das ist hier eben keine eindeutige Zuordung mehr!
Gruß glie
>
> [mm]\Longrightarrow y = \sqrt{e^x +4}[/mm]
>
> Ich denk [mm]|x| > 2[/mm] muss halt sein, damit man nur positive
> Zahlen logarithmiert... also eine notwendige
> Nebenbedingung. Dieser Definitionsbereich wird dann wohl
> zum Wertebereich. Aber ich versteh nicht, warum diese
> Umkehrung nicht möglich ist, denn ich kann doch in [mm]y = \sqrt{e^x +4}[/mm]
> alles einsetzen, denn [mm]e^x[/mm] wird bei negativen Zahlen, die im
> Wertebereich von f(x) vorkommen ja allerhöchstens 0 und
> dann ziehe ich nur noch die Wurzel aus 4. Wo ist mein
> Fehler?
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> Malte
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist f(x)=f(-x) für |x|>2.
f ist also ganz, ganz weit weg von "injektiv"
FRED
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