Umkehrfunktion im metr. Raum < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:45 Di 10.12.2013 | | Autor: | DeepSound |
| Aufgabe | Seien [mm] (X,d_{x}) [/mm] und [mm] (Y,d_{y}) [/mm] metrische Räume und [mm] f: X \to Y [/mm] eine stetige und bijektive Abbildung. Zeigen Sie:
i) Ist [mm] X=Y [/mm] und [mm] d_{x}=d_{y}, [/mm] so ist die Umkehrabbildung [mm] f^{-1}: Y \to X [/mm] auch stetig.
ii) Es gibt Mengen X, Y und Metriken [mm] d_{x}, d_{y}, [/mm] so dass [mm] f^{-1}: Y \to X [/mm] nicht stetig ist. |
Hallo,
bei der ersten Teilaufgabe habe ich versucht zu zeigen, dass gilt: [mm] U\subseteq [/mm] X offen => [mm] f(U)\subseteq [/mm] X offen, aber damit komm ich leider nicht weit. Wie könnte ich das denn anders zeigen?
Und zur zweiten Teilaufgabe habe ich absolut keine Idee. Wie geht man denn am Besten an solch einen Typ Aufgabe heran?
Danke schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DeepSound |
Hat hier keiner eine schnelle Antwort parat? Ich bin damit etwas überfordert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hat hier keiner eine schnelle Antwort parat? Ich bin damit
> etwas überfordert.
ne, schnell sicher nicht unbedingt - da brauchst Du Glück. Was ich Dir sagen
kann, ist, dass Du alleine mit topologischen Argumenten (also Urbilder
offener Bilder sind offen) sicher nicht weiterkommst - schau' mal in einem
Topologiebuch, welcher Zusammenhang da besteht (da steht sicher
irgendwas, dass eine gewisse erzeugte Topologie feiner/gröber sein muss
als die andere...).
Ich denke, dass der Grundgedanke hier sein wird, dass man für jeden
offenen Ball einen "kleineren" offenen Ball findet, der komplett in diesem
enthalten ist und dass man auch einen größeren offenen Ball findet, der
diesen enthält - denn schau' mal nach, welche Topologie die Menge der
bzgl. einer Metrik offenen Mengen erzeugt.
Ich vermute sogar, dass es ausreicht, dass die Metriken äquivalent sind
(schlag' den Begriff nach).
Soviel zu meinem "Bauchgefühl", was aber alles bislang nur spekulativ ist.
Ich empfehle Dir aber wirklich, erstmal rein per Definitionem anzufangen:
Sei [mm] $d_X=d_Y\,,$ [/mm] $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ bijektiv und stetig.
Zu zeigen: [mm] $g:=f^{-1} \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ ist stetig.
Sei dazu [mm] $y_0 \in Y\,.$ [/mm] Für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ haben wir dann zu zeigen:
Es gibt ein [mm] $\delta=\delta_{\epsilon,y_0} [/mm] > 0$ so, dass
[mm] $\forall y\in [/mm] Y:$ [mm] $d(y,y_0) [/mm] < [mm] \delta$ $\Longrightarrow$ $d(g(y),g(y_0)) [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Wir definieren [mm] $x_0:=g(y_0)\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $y_0=f(x_0)\,.$ [/mm] ...
(Irgendwie müssen wir ja verbraten, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig (in jedem [mm] $x_0 \in [/mm] X$) ist...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich geb' Dir mal noch ein Stichwort, damit Du wenigstens
Deine Aufgabe mal einzusortieren weißt (ich denke auch,
dass man doch noch mehr als die Äquivalenz der Metriken
braucht):
![[]](/images/popup.gif) Homöomorphismus
Da findest Du halt sehr allgemein Aussagen, die Dir bei
Deiner Aufgabe helfen könnten - ist halt die Frage, ob Du
mit den Begriffen (schon) etwas anfangen kannst!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es gilt folgender Satz:
Sei [mm] $\Omega \not=\varnothing$ [/mm] und [mm] $(\Omega,\tau)$ [/mm] ein topologischer Raum. Weiter
sei auch [mm] $(\Omega',\tau')$ [/mm] topologischer Raum. Dann ist
$f [mm] \colon \Omega \to \Omega'$
[/mm]
genau dann stetig, wenn [mm] $f^{-1}(\tau') \subseteq \tau\,,$ [/mm] also wenn [mm] $f^{-1}(\tau')$ [/mm] gröber
ist als [mm] $\tau\,.$ [/mm] (Das ist keine Überraschung, sondern folgt eigentlich rein
per Definitionem!)
Stärker gilt: Ist [mm] $\Xi'$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $\tau'\,,$ [/mm] so ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann stetig,
wenn [mm] $f^{-1}(\Xi') \subseteq \tau\,.$
[/mm]
Deswegen denke ich, dass bei Deiner Aufgabe die Äquivalenz von Metriken
ausreicht...
Gruß,
Marcel
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Hiho,
für die zweite Aufgabe kannst du dir recht schnell ein Beispiel überlegen, bspw [mm] $X=Y=\IR$, [/mm] einmal mit der euklidischen und einmal mit der diskreten Metrik.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht bin ich heute total verblödet, aber ich meine, dass die Aussage in i) falsch ist.
Edit: heute jedenfalls bin ich nicht total verblödet. Die Aussage in i) ist falsch.
Beispiel: ich nenne eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in [mm] \IR [/mm] finit, wenn es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] gibt mit: [mm] x_n=0 [/mm] für alle n> [mm] n_0.
[/mm]
Sei X der Raum aller finiten Folgen in [mm] \IR. [/mm] Wir statten X mit folgender Metrik aus:
[mm] d((x_n),(y_n)):= [/mm] max [mm] \{|x_n-y_n|: n \in \IN\}.
[/mm]
Damit ist (X,d) ein tadelloser metrischer Raum.
Ist von 0 [mm] \in [/mm] X die Rede, so meine ich in diesem Zusammenhang
0=(0,0,....).
Nun definieren wir $f:X [mm] \to [/mm] X $ durch
[mm] f((x_n)):=(\bruch{x_n}{n}).
[/mm]
Dann ist f stetig, denn d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] d(x,y) für alle x,y [mm] \in [/mm] X.
Klar dürfte sein, dass f bijektiv ist.
Setzen wir [mm] e^{(n)}:=(0,...,0,1,0,0,.....) [/mm] ( die 1 an der n-ten Stelle), so ist [mm] e_n \in [/mm] X und für die Folge
[mm] z^{(n)}:=\bruch{1}{n}* e^{(n)} [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] gilt:
1. [mm] $z^{(n)} \in [/mm] X$ für alle n [mm] \in \IN,
[/mm]
2. $d( [mm] (z^{(n))},0) \to [/mm] 0$
und
3. [mm] d(f^{-1}( (z^{(n)})),f^{-1}(0))= d(n*e_n,0)=n [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Edit: es lautet natürlich
[mm] d(f^{-1}( (z^{(n)})),f^{-1}(0))= d(e_n,0)=1 [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] f^{-1} [/mm] ist also nicht stetig in 0 [mm] \in [/mm] X.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo fred,
ein schönes Beispiel, allerdings bin ich über eine (nicht wesentliche) Stelle gestolpert:
> 3. [mm]d(f^{-1}( z^{(n)}),f^{-1}(0))= d(n*e_n,0)=n[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
Du sagst hier: [mm] $f^{-1}( z^{(n)}) [/mm] = [mm] n*e_n$, [/mm] gilt nicht aber aufgrund der Konstruktion von [mm] $z^{(n)}$ [/mm] gerade [mm] $f^{-1}( z^{(n)}) [/mm] = [mm] e_n$.
[/mm]
Dann kommt als Abstand konstant 1 raus, was aber am Ergebnis nichts ändert. 
Mich würde mal die vermeintliche Lösung des Threaderstellers interessieren.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> ein schönes Beispiel, allerdings bin ich über eine (nicht
> wesentliche) Stelle gestolpert:
>
>
> > 3. [mm]d(f^{-1}( z^{(n)}),f^{-1}(0))= d(n*e_n,0)=n[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Du sagst hier: [mm]f^{-1}( z^{(n)}) = n*e_n[/mm], gilt nicht aber
> aufgrund der Konstruktion von [mm]z^{(n)}[/mm] gerade [mm]f^{-1}( z^{(n)}) = e_n[/mm].
>
> Dann kommt als Abstand konstant 1 raus, was aber am
> Ergebnis nichts ändert.
Hallo Gono,
da hast Du natürlich recht. Blöder Tippfehler. Vielen Dank für die schnelle Korrektur.
>
> Mich würde mal die vermeintliche Lösung des
> Threaderstellers interessieren.
Mich auch, und zwar brennend !
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Mi 18.12.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo fred,
da vom Fragesteller wohl leider keine Antwort mehr zu erwarten ist, hab ich mal ein bisschen recherchiert.
Gefunden habe ich, was zumindest in das Setting hier passt, einen ähnlichen Satz, der aber die Kompaktheit von X voraussetzt.
Nehmen wir diese also an, sollte der Satz gelten.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:25 Mi 18.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> da vom Fragesteller wohl leider keine Antwort mehr zu
> erwarten ist, hab ich mal ein bisschen recherchiert.
> Gefunden habe ich, was zumindest in das Setting hier
> passt, einen ähnlichen Satz, der aber die Kompaktheit von
> X voraussetzt.
>
> Nehmen wir diese also an, sollte der Satz gelten.
Hallo Gono,
ja, dann gilt der Satz.
Im Folgenden seien stets X und Y metrische Räume und f:X [mm] \to [/mm] Y stetig, und man beachte, dass eine Teilmenge eines metrischen Raumes genau dann kompakt ist, wenn sie folgenkompakt ist.
Lemma: Ist K eine kompakte Teilmenge von X, so ist f(K) eine kompakte Teilmenge von Y.
Beweis: Sei [mm] (y_n) [/mm] eine Folge in f(K). Dann gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in K mit [mm] f(x_n)=y_n [/mm] für alle n. Da K kompakt ist, enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}), [/mm] deren Grenzwert x zu K gehört. Da f stetig ist, folgt
[mm] $y_{n_k}= f(x_{n_k}) \to [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(K)$.
Damit ist f(K) folgenkompakt, also kompakt.
Satz: Ist X kompakt und f auch noch bijektiv, so ist [mm] f^{-1} [/mm] stetig.
Beweis: Wegen [mm] (f^{-1})^{-1}=f, [/mm] genügt es zu zeigen: ist A eine abgeschlossene Teilmenge von X , so ist f(A) abgeschlossen in Y.
Sei also A [mm] \subseteq [/mm] X abgeschlossen. Da X kompakt ist, ist auch A kompakt. Nach obigem Lemma ist f(A) kompakt, also auch abgeschlossen.
Das war's.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Sa 21.12.2013 | | Autor: | DeepSound |
Tut mir leid, dass ich nicht früher geantwortet hab, aber wegen dem ganzen Vorweihnachtsstress habe ich keine Zeit gefunden!
Also eine Lösung hab ich bis heute nicht gefunden, und da die Aufgabe schon etwas älter ist, finde ich auch keine Lösung dazu mehr in den Unterlagen. Von daher, keine Ahnung. Aber danke für all die Antworten!
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