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Forum "Funktionen" - Umkehrfunktion und Ableitung
Umkehrfunktion und Ableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Umkehrfunktion und Ableitung: Wie gehts weiter?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mo 10.01.2005
Autor: jakob

Hallo,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wieter:
Man hat ein Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{cosh(x)} [/mm] fuer [mm] x\ge [/mm] 0.
Ich soll nun die Umkehrfunktion  [mm] f^{-1} [/mm] von f unter Verwendung elementarer Funktionen wie Logarithmus und Quadratwurzel bestimmen.
Ich bin dazu hier so vorgegangen:
y= [mm] \bruch{1}{cosh(x)} [/mm]
cosh(x)= [mm] \bruch{1}{y} [/mm]
Von der Vorlesung weiss ich:
cosh(x)=cos(ix)= [mm] \bruch{e^{x}+ e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y} [/mm]

[mm] \bruch{e^{x}+ e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
ln [mm] \bruch{e^{x}+ e^{-x}} [/mm] = ln [mm] \bruch{3}{4} [/mm]

Jetzt komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiss , wie ich nun nach x aufloesen soll, weil um die Umkehrfunktion zu berechnen, muss ja immer x und y am Ende vertauschen, aber wie bekomme ich die x`s vom Exponenten raus?
Ich habe hier noch einen guten Hinweis im Buch gefunden, aber leider ohne Rechenschritte. Da steht, dass die Umkehrfunktion von cosh(x), also [mm] f^{-1}(cosh(x)) [/mm] = arcosh(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}-1} [/mm] ist, also die Umkehrfunktion des "Areacosinus hyperbolicus". Kann mir jemamd bitte weiter helfen?
Danach soll ich nun die Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] bestimmen, aber da ich [mm] f^{-1} [/mm] nicht habe, kann ich die Ableitung nicht bestimmen :-( Die Ableitung soll einmal aus der expliziten Formel als auch aus der allgemeinen Formel fuer die Ableitung der Umkehrfunktion sein, aslo also aus [mm] f^{-1}` [/mm] (f(x))= [mm] \bruch{1}{f`(x)}. [/mm]

ich danke fuer die Hinweise und Tricks und was alles noetig ist.
Mfg,Jakob

        
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Umkehrfunktion und Ableitung: Tippfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Mo 10.01.2005
Autor: jakob

Ich hab mich vetippt an einer Stelle:
Statt [mm] \bruch{3}{4} [/mm] muss natuerlich [mm] \bruch{2}{y} [/mm] stehen.
Danke.
Jakob

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Umkehrfunktion und Ableitung: Tipp: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Mo 10.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Jakob,

für die Umformung zur Ermittlung der Umkehrfunktion ein kleiner Tipp.


Probier's mal mit folgender Substitution:

$z := [mm] e^x$ $\gdw$ [/mm]   $x = ln(z)$

sowie [mm] $e^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}$ [/mm]


Grüße
Loddar


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Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: versteh die substitution nich
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 10.01.2005
Autor: jakob

Hallo,
ich hab deinen Tipp befolgt und erhalte folgendes:
ln( [mm] e^{x}+ e^{-x}) [/mm] = ln (z+  [mm] \bruch{1}{z}) [/mm] = ln( [mm] \bruch{ z^{2}+1}{z}= [/mm] ln( [mm] z^{2}+1) [/mm] - ln z = ????

Wie gehts nun weiter?

Es soll ja gelten : ln( [mm] e^{x}+ e^{-x}) [/mm] = ln [mm] \bruch{2}{y} [/mm]

Danke. Jakob

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Umkehrfunktion und Ableitung: Erklärung (korrigiert)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:14 Di 11.01.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Jakob!

Ups, da habe ich mich wohl etwas unverständlich ausgedrückt [peinlich] ...


Die Substitution sollte vor dem Logarithmieren durchgeführt werden, nämlich bei:

[mm] $e^x [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] e^x [/mm] + [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{2}{y}$ [/mm]

Dann erhältst Du irgendwann eine quadratische Gleichung, die mit der MBPQFormel zu lösen ist ...


Probier' das mal und melde Dich dann mit Deinem Ergebnis!

Grüße
Loddar


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Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: Problem bei Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Di 11.01.2005
Autor: jakob

Hallo,

ich habe die Tipps von Loddar befolgt und folgendes gemacht. Jetzt will ich wissen, ob meine Lösung richtig ist.
Also

ich habe  [mm] e^{x} [/mm] =: z und  [mm] e^{-x}= \bruch{1}{z} [/mm] gesetzt.

Dann ist [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{2}{y} [/mm]

               z +  [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{2}{y} [/mm]

                [mm] z^{2} [/mm] + 1 -  [mm] \bruch{2}{y} [/mm] z = 0

Nach Auflösen dieser Mitternachtsformel und der Resubstution zu der exp-Funktion und dem ln erhalte ich zwei Lösungen, von denen eine nich in Frage kommen sollte, aber welche???

Also:

[mm] x_{1,2} [/mm] = ln( [mm] \bruch{2}{y} \pm [/mm]  2 [mm] \wurzel{( \bruch{1}{y}+1)( \bruch{1}{y}-1)})-ln2 [/mm]

Welche von beiden ist nun richtig? Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich ja noch anschließend x und y vertauschen in einer der beiden oberen möglichen Werte. Dies wäre dann  [mm] f^{-1}(x) [/mm] oder?

Danke.
Mfg, Jakob


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Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: KEIN Fehler ... (korrigiert)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Di 11.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Jakob!

> [mm]z^{2}[/mm] + 1 -  [mm]\bruch{2}{y}[/mm] z = 0

[daumenhoch]


> Nach Auflösen dieser Mitternachtsformel ...

Warum "Mitternachtsformel"?
Hier kannst Du doch gleich die MBPQFormel anwenden ... egal!


> und der Resubstution zu der exp-Funktion und dem ln erhalte ich
> zwei Lösungen, von denen eine nich in Frage kommen sollte,
> aber welche???
>  
> Also:
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = ln( [mm]\bruch{2}{y} \pm[/mm]  2 [mm]\wurzel{( \bruch{1}{y}+1)( \bruch{1}{y}-1)})-ln2[/mm]

Wie kommst Du denn auf das Minus-Zeichen innerhalb der Wurzel, auf dem Du dann die 3. binomische Formel anwendest?

Ich habe ... Mist gerechnet und hatte erhalten:
[mm]x_{1,2} = ln(\bruch{2}{y} \pm 2 \wurzel{\bruch{1}{y^2}\red{+}1}) - ln(2)[/mm] [notok]


[...]  gelöscht !!


Richtig ist:
[mm]x_{1,2} = ln\left(\bruch{1 \pm \wurzel{1-y^2}}{y}\right)[/mm]

[mm]x_{1} = ln\left(\bruch{1 + \wurzel{1-y^2}}{y}\right)[/mm]
[mm]x_{2} = ln\left(\bruch{1 - \wurzel{1-y^2}}{y}\right)[/mm]

Nun sieh' Dir mal die beiden (möglichen) Lösungen an, unter dem Aspekt, daß der ln nur für positive Argumente definiert ist. daß gemäß Aufgabenstellung vorgegeben ist: $x [mm] \ge [/mm] 0$.

Also verbleibt welche der beiden Terme als Umkehrfunktion?


Loddar


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Umkehrfunktion und Ableitung: Ableitung der Umkehrfkt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Di 11.01.2005
Autor: jakob

Hallo,

danke für deine Hilfe!!! Ich bin der Meinung dass die  [mm] x_{1} [/mm] die Umkehrfunktion darstellt wenn man noch x und y vertauscht.

Als nächstes soll ich die Ableitung von  [mm] f^{-1} [/mm] bestimmen:
Ich habe folgendes:

[mm] f^{-1}= [/mm] ln (1+  [mm] \wurzel{1+ x^{2}})- [/mm] ln x
Für die Ableitung erhalte ich:


[mm] f^{-1}' [/mm] = -   [mm] \bruch{1+ \wurzel{1+ x^{2}}}{x(1+x^{2}+ \wurzel{1+x^{2}})} [/mm]

Stimmt das?

Wenn ich aber jetzt die Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] nach der allgemeinen Formel  

[mm] f^{-1}'(f(x)) [/mm] =  [mm] \bruch{1}{f'(x)} [/mm]

erhalte ich nicht das gleiche Ergebnis ,sondern :
[mm] \bruch{ sinh^{2}x-1}{sinhx} [/mm]
Wie kann das sein???
Ich versteh die allg. Formel nicht ganz. Eigentlich müssten doch beide Lösungen gleich sein. Diese sehe ich aber nicht. Kann mir einer bitte helfen? Dabke
Jakob.

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Umkehrfunktion und Ableitung: (bescheidene) (Teil-)Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Di 11.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Jakob!


> Ich bin der Meinung dass die  [mm]x_{1}[/mm] die Umkehrfunktion
> darstellt, wenn man noch x und y vertauscht.

[daumenhoch]



> Als nächstes soll ich die Ableitung von  [mm]f^{-1}[/mm] bestimmen:
> Ich habe folgendes:
> [mm]f^{-1}(x) = ln(1 + \wurzel{1+ x^{2}}) - ln(x)[/mm]

[daumenhoch]



> Für die Ableitung erhalte ich:
> [mm]f^{-1}'(x) = - \bruch{1 + \wurzel{1+ x^{2}}}{x(1+x^{2}+ \wurzel{1+x^{2}})}[/mm]
> Stimmt das?

[daumenhoch]

Ich habe mal versucht, diesen "Monsterausdruck" noch weiter zu vereinfachen (Stichwort: Erweitern durch 3.binomische Formel im Nenner).
Irgendwann habe ich erhalten (bitte erspar' mir die Einzelheiten, aber versuch das auch mal [grins]):
[mm] $(f^{-1})'(x) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x*\wurzel{1+x^2}}$ $(\star)$ [/mm]


> Wenn ich aber jetzt die Ableitung von [mm]f^{-1}[/mm] nach der
> allgemeinen Formel  
>
> [mm](f^{-1})'(f(x)) = \red{(f^{-1})'(y)} = \bruch{1}{f'(x)}[/mm]

[ok] Siehe auch mal hier .


Jedenfalls mußt Du nun in diesen Ausdruck [mm] $(\star)$ [/mm] folgendes einsetzen:
Für jedes $x =  [mm] \bruch{1}{cosh(x)}$, [/mm] dann sollte der u.g. Ausdruck entstehen.

Irgendwie häng' ich um die Uhrzeit auch auf'm Schlauch [saumuede] und komm da auch nicht drauf [kopfkratz2] ...
Ich werde da mal drüber schlafen und meld' mich morgen nochmal ...


> erhalte ich nicht das gleiche Ergebnis ,sondern :
> [mm]\bruch{1}{f'(x)} = \bruch{sinh^{2}x-1}{sinhx}[/mm]

[ok]


[gutenacht]
Loddar


Bezug
                                                        
Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Mi 12.01.2005
Autor: Brigitte

Hallo ihr beiden!

Da ich nun auch schon einige Zeit an der Aufgabe sitze, hier meine Lösung. Zunächst mal erhält man, wie Jakob richtig bemerkt hat,

[mm]x_1=ln\left(\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]
[mm]x_2=ln\left(\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]

Die zweite Lösung ist hier übrigens nicht falsch, sondern liefert die Werte auf der linken Seite der $y$-Achse. Eine eindeutige Umkehrung gibt es hier nur, wenn man sich für einen der Schenkel entscheidet (wie bei der Normalparabel auch). Das Auseinanderziehen mit Hilfe der Logarithmengesetze verfälscht die Aussage hier leider.

Ich lasse jetzt mal $x$ und $y$ stehen, wie sie sind, und rechne nur mit [mm] $x_1$ [/mm] weiter. Auf der einen Seite gilt ja

[mm]f'(x)=-\frac{1}{cosh^2(x)}\cdot sinh(x)=-y^2\cdot \sqrt{cosh^2(x)-1}=-y^2\cdot \sqrt{\frac{1}{y^2}-1}[/mm]

(wobei hier die Beziehung [mm] $cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$ [/mm] eingeht), also

[mm](f^{-1})'(y)=-\frac{1}{y^2\sqrt{\frac{1-y^2}{y^2}}}=-\frac{1}{y\sqrt{1-y^2}}[/mm]

Berechnet man auf der anderen Seite die Ableitung direkt aus [mm] $x_1$, [/mm] folgt unter Anwendung der Kettenregel und der Quotientenregel:

[mm]\left[ln\left(\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}\right)\right]'=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}\cdot\frac{\frac{-2y}{2\sqrt{1-y^2}}-(1+\sqrt{1-y^2})\cdot 1}{y^2}[/mm]

[mm]=-\frac{1}{1+\sqrt{1-y^2}}\cdot \frac{y^2+\sqrt{1-y^2}+(1-y^2)}{y\sqrt{1-y^2}}[/mm]

[mm]=-\frac{1}{1+\sqrt{1-y^2}}\cdot \frac{\sqrt{1-y^2}+1}{y\sqrt{1-y^2}}[/mm]

[mm]=-\frac{1}{y\sqrt{1-y^2}},[/mm]

also zum Glück dasselbe Ergebnis wie oben. Hoffe, dass jetzt kein Fehler mehr drin ist...

Gute Nacht
Brigitte




Bezug
                                                                
Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:32 Mi 12.01.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Brigitte,


erst einmal vielen Dank für die Lösung dieser Aufgabe.


An der Aufgabe habe ich mir fast die Zähne ausgebissen, zumal ich ja gleich zu Beginn beim Vorzeichen einen dicken Bock geschossen habe ...
[peinlich] [peinlich] !! (Tja: wer lesen kann, ... [bonk] )


> [mm]x_1=ln\left(\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]
> [mm]x_2=ln\left(\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]
>  
> Die zweite Lösung ist hier übrigens nicht falsch, sondern
> liefert die Werte auf der linken Seite der [mm]y[/mm]-Achse. Eine
> eindeutige Umkehrung gibt es hier nur, wenn man sich für
> einen der Schenkel entscheidet (wie bei der Normalparabel
> auch). Das Auseinanderziehen mit Hilfe der
> Logarithmengesetze verfälscht die Aussage hier leider.

Durch die Vorgabe $x [mm] \ge [/mm] 0$  aus der Aufgabenstellung ist die Umkehrfunktion auch eindeutig definiert als [mm] $x_1=...$. [/mm]

Hinweis für Jakob:
Das sieht man besonders an der Funktionskurve, da die Kurve der Umkehrfunktion der Spiegelung an der Winkelhalbierenden entspricht.

[Dateianhang nicht öffentlich]


Viele Grüße und nochmals Danke ...
Loddar



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                        
Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Mi 12.01.2005
Autor: Brigitte

Lieber Loddar!

> erst einmal vielen Dank für die Lösung dieser Aufgabe.

Gern geschehen :-)

> An der Aufgabe habe ich mir fast die Zähne ausgebissen,
> zumal ich ja gleich zu Beginn beim Vorzeichen einen dicken
> Bock geschossen habe ...
>  [peinlich] [peinlich] !! (Tja: wer lesen kann, ... [bonk]
> )

Macht doch nichts, passiert doch jedem mal. Dafür sind wir doch eine große Gemeinschaft :-)
  

> > [mm]x_1=ln\left(\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]
>  > [mm]x_2=ln\left(\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]

>  >  
> > Die zweite Lösung ist hier übrigens nicht falsch, sondern
> > liefert die Werte auf der linken Seite der [mm]y[/mm]-Achse. Eine
> > eindeutige Umkehrung gibt es hier nur, wenn man sich für
> > einen der Schenkel entscheidet (wie bei der Normalparabel
> > auch). Das Auseinanderziehen mit Hilfe der
> > Logarithmengesetze verfälscht die Aussage hier leider.

>

>  Durch die Vorgabe [mm]x \ge 0[/mm]  aus der
> Aufgabenstellung ist
> die Umkehrfunktion auch eindeutig definiert als [mm]x_1=...[/mm].

Siehst Du, hab auch was übersehen [bonk]
Na ja, die Argumentation für [mm] $x_1$ [/mm] sollte dann aber auch wirklich über die Vorgabe geschehen und nicht über den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion.

> Hinweis für Jakob:
>  Das sieht man besonders an der Funktionskurve, da die
> Kurve der Umkehrfunktion der Spiegelung an der
> Winkelhalbierenden entspricht.
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  

[ok]
WOW! Jetzt ist wirklich alles klar :-)

Liebe Grüße
Brigitte

Bezug
                                                                                
Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Mi 12.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Brigitte!

> Na ja, die Argumentation für [mm]x_1[/mm] sollte dann aber auch
> wirklich über die Vorgabe geschehen und nicht über den
> Definitionsbereich der Logarithmusfunktion.

Ist bereits überarbeitet: [guckstduhier] click it


Loddar


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Umkehrfunktion und Ableitung: fehler gefunden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Di 11.01.2005
Autor: jakob

Hallo Loddar,
ich versteh wie du da auf das rote + kommst.
Nach der Mitternachtsformel muss doch ein minus unter der wurzel stehen.
Ich hab mir auch die PQ-Formel angeschaut. Da steht auch ein Minus.
Die gleichung lautet doch:
[mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x}= \bruch{2}{y} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: Ein gaaanz großes SORRY !!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Mi 12.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Jakob!!


Du hattest natürlich völlig recht mit Deiner Lösung für die Umkehrfunktion!
Da habe ich völlig Mist gebaut gleich zu Beginn der Aufgabe [peinlich] !!

Ich kann nur hoffen, daß ich Dich nicht zu sehr verunsichert und verwirrt habe [bonk] ...
Auf jeden Falle möchte ich mich hiermit bei Dir entschuldigen [sorry] [sorry], schließlich soll Dir hier geholfen werden ...


Alles, was Du für Deine Aufgabe wissen mußt, steht nunmehr unter dieser hervorragenden Antwort von Brigitte. Ich habe mir erlaubt, noch eine kleine Anmerkung anzufügen.


Hoffentlich hast Du nun nicht den Glauben an den Matheraum verloren. ;-)

Bis zum nächsten Mal [hand] ...

Grüße
Loddar


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Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: substitution fehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mi 12.01.2005
Autor: hallo

Hallo!

Ich glaub, daist ein fehler. es muss doch  [mm] z_{1,2} [/mm] statt  [mm] x_{1,2} [/mm] heissen, weil vorher doch substituoiert wurde, und zwar so:  z =  [mm] e^{x}. [/mm]
also muesste es doch heissen, dass  [mm] e^{x} [/mm] = ln ( [mm] \bruch{1+ \wurzel{1- y^{2}}}{y} [/mm]

stimmt das? wenn ja, dann sind ja die antworten doch nicht richtig.
dann sind ableitung und umkehrfunktion nicht richtig.

danke
hallo


Bezug
                                                        
Bezug
Umkehrfunktion und Ableitung: Alles OK ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Mi 12.01.2005
Autor: Loddar

Hallo "hallo"!

> Ich glaub, daist ein fehler. es muss doch  [mm]z_{1,2}[/mm] statt  
> [mm]x_{1,2}[/mm] heissen, weil vorher doch substituoiert wurde, und
> zwar so:  z =  [mm]e^{x}. [/mm]
>  also muesste es doch heissen, dass  [mm]e^{x}[/mm] = ln ( [mm]\bruch{1+ \wurzel{1- y^{2}}}{y}[/mm]

Ganz ruhig bleiben :-). Das ist schon in Ordnung (jetzt).


Wir haben substituiert: $z := [mm] e^x \quad \gdw \quad [/mm] x = ln(z)$

Mit der MBPQFormel haben wir letztlich erhalten:
[mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] e^{x_{1,2}} [/mm] = [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{1-y^2}}{y}$ [/mm]

Durch Logarithmieren erhalten wir dann unsere o.g. Lösung ...


Grüße
Loddar


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