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| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen [mm] f(x)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm] und g(x)=x+3, definiert auf [mm] D_{f}=D_{g}=(0,+\infty)
[/mm]
(a) Skizzieren Sie f und g. Untersuchen Sie die Funktionen auf Monotonie und Injektivität.
(b) Bestimmen Sie gegebenfalls die Umkehrfunktion. Skizzieren Sie diese. |
Zur (a) Wie überprüft man auf monotonie und injektivität?
Zur (b) Ist wenn die Funktion injektiv ist auch eine Umkehrfunktion hat?
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Hallo monstre123,
> Gegeben seien die Funktionen [mm]f(x)=\bruch{1}{x^{2}}[/mm] und
> g(x)=x+3, definiert auf [mm]D_{f}=D_{g}=(0,+\infty)[/mm]
>
> (a) Skizzieren Sie f und g. Untersuchen Sie die Funktionen
> auf Monotonie und Injektivität.
> (b) Bestimmen Sie gegebenfalls die Umkehrfunktion.
> Skizzieren Sie diese.
> Zur (a) Wie überprüft man auf monotonie und
> injektivität?
zur Monotonie:
was hat die Monotonie mit der 1.Ableitung zu tun?
Beachte die Definitionsbereiche ...
Zur Injektivität:
Nimm dir jeweils [mm] $x_1,x_2\in D_f, D_g$ [/mm] her mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] bzw. [mm] $g(x_1)=g(x_2)$ [/mm] und zeige, dass daraus jeweils folgt:
[mm] $x_1=x_2$
[/mm]
>
> Zur (b) Ist wenn die Funktion injektiv ist auch eine
> Umkehrfunktion hat?
Nein, sie muss schon bijektiv sein!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mi 20.01.2010 | | Autor: | monstre123 |
Zur Monotonie habe ich jetzt folgendes:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm] --> [mm] f'(x)=\bruch{-2}{x^{3}} [/mm] --> Maximum oder?
g(x)=x+3 --> g'(x)=1 --> Minimum
aber die injektivität verstehe ich nicht: woher bekomm ich [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] und wie soll ich zeigen, dass die x1=x2 ist?
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm] und g(x)=x+3
Bilden Sie folgende Verkettung h=f [mm] \circ [/mm] g
Untersuchen Sie dann auf Monotonie und Injektivität und die umkehrfunktion bilden. |
Folgendes habe ich gemacht:
Verkettung:
[mm] f(x+3)=(x+3)\bruch{1}{x^{2}}=(\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}})=h(x)
[/mm]
Monotonie:
keine ahnung, aber wenn man im taschenrechner ein paar werte eingibt, dann sieht man das die funktion streng monoton fallend ist.
Injektivität:
weil die funktion streng monoton fallend ist, ist dann die funktion injektiv.
Umkehrfunktion:
[mm] h(x)=(\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}})
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y}=x+\bruch{3}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{y}=x+x^{2}
[/mm]
irgendwie hänge ich hier^^
Jetzt meine Frage: Ist alles soweit richtig?
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Hallo Monster  ,
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{x^{2}}[/mm] und
> g(x)=x+3
>
> Bilden Sie folgende Verkettung h=f [mm]\circ[/mm] g
> Untersuchen Sie dann auf Monotonie und Injektivität und
> die umkehrfunktion bilden.
> Folgendes habe ich gemacht:
>
> Verkettung:
>
> [mm]f(x+3)[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") =[mm](x+3)\bruch{1}{x^{2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]=(\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}})=h(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Es ist doch $f(x)=\frac{1}{x^2}$ und $g(x)=x+3$
Also $(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{1}{(g(x))^2}=\frac{1}{(x+3)^2$
>
> Monotonie:
>
> keine ahnung, aber wenn man im taschenrechner ein paar
> werte eingibt, dann sieht man das die funktion streng
> monoton fallend ist.
Ach, schmeiß den Scheiß TR weg, immer dieses Gelumpe.
Schalte lieber dein Hirn ein
Ist nicht böse gemeint, aber immer diese TR-Kacke ...
Die korrekte Verkettungsfunktion hat in $x=-3$ einen Pol.
Abhängig vom Intervall, auf dem du dich bewegst, ist die Verkettungsfunktion steigend oder fallend --> 1.Ableitung ...
>
> Injektivität:
>
> weil die funktion streng monoton fallend ist, ist dann die
> funktion injektiv.
aber auf welchem Intervall? (außerdem ist ja die Fkt. falsch - aber die Aussage stimmt)
>
> Umkehrfunktion:
>
> [mm]h(x)=(\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}})[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{x}+\bruch{3}{x^{2}}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{y}=x+\bruch{3}{x^{2}}[/mm]
> [mm]\bruch{3}{y}=x+x^{2}[/mm]
>
> irgendwie hänge ich hier^^
Kein Wunder ...
>
>
> Jetzt meine Frage: Ist alles soweit richtig?
Nee
LG
schachuzipus
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> Ist wenn die Funktion injektiv ist auch eine Umkehrfunktion hat?
Auf Deutsch übersetzt würde dies heißen:
"Hat eine Funktion, wenn sie injektiv ist, auch eine Umkehrfunktion ?"
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Hallo Al,
ich habe mir Angelas schwarzen Zauberraben geliehen, der sowas deuten kann.
Daher habe ich das mal in dieser Weise interpretiert ...
Schönen Abend
Ralf
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