www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Umkehrfunktionen
Umkehrfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Umkehrfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Di 18.05.2010
Autor: zocca21

Aufgabe
a) Untersuchung, ob für die Funktion f: [0, [mm] \pi [/mm] ] -> [mm] \IR: [/mm] x -> [mm] cos(x)^3 [/mm] auf dem Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] eine Umkehrabbildung f^-1: f [mm] ([o,\pi]) [/mm] -> [mm] [0,\pi] [/mm] existiert.

b) Falls die Umkehrabbildung existiert und  f^⁻1 in f(x0) differenzierbar ist, berechnen sie die Ableitung.

So ich hab mal begonnen:

a) Zunächsteinmal muss ich ja untersuchen ob überhaupt eine Umkehrabbildung existiert.

Dabei ist ja die Frage ob die Funktion x -> [mm] cos(x)^3 [/mm] bijektiv ist im geschlossenen Intervall von [mm] [0,\pi] [/mm]

Ich hätte jetzt gedacht..es ist weder surjektiv noch injektiv also auch nicht bijektiv und so existiert keine Umkehrabbildung..

Jedoch könnte man dann ja nicht weiterrechnen...

Wäre die Umkehrabbildung
y = 1 / [mm] cos(x)^3 [/mm] ?


Vielen Dank für jegliche Hilfe, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht...würde das ganze gerne verstehen..


        
Bezug
Umkehrfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Di 18.05.2010
Autor: Leopold_Gast

Die Funktion [mm]f[/mm] ist die Verkettung zweier Funktionen:

[mm]x \mapsto t = \cos x \mapsto y = t^3 = \cos^3 x[/mm]

Es gilt also

[mm]f = g \circ h \ \ \text{mit} \ \ g(t) = t^3 \, , \ h(x) = \cos x[/mm]

Jetzt überlege zunächst: Wohin bildet [mm]h[/mm] das Intervall [mm][0,\pi][/mm] ab. Ist diese Abbildung eineindeutig? Gibt es also zu jedem Bild nur ein Urbild? Um die Frage zu beantworten, genügt ein Blick auf den Graphen der Cosinusfunktion.
Und im nächsten Schritt ist dann zu untersuchen, wohin [mm]g[/mm] das Bildintervall von [mm]h[/mm] abbildet und ob diese Abbildung eineindeutig ist.

Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Di 18.05.2010
Autor: zocca21

Okay...also in dem Intervall gibt es zu jedem Bild nur ein Urbild -> injektiv

Aber ist es auch Surjektiv? Dazu müsste es ja alle reelen Zahlen annhemen oder nicht?

Da f: [mm] [0,\pi] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ??

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Di 18.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Okay...also in dem Intervall gibt es zu jedem Bild nur ein
> Urbild -> injektiv
>  
> Aber ist es auch Surjektiv? Dazu müsste es ja alle reelen
> Zahlen annhemen oder nicht?

Nein. Die Bildmenge muss nicht ganz [mm] \IR [/mm] sein.
"Surjektiv" bezieht sich nur auf die konkret
vorliegende Bildmenge (Wertebereich). Für die
Teilfunktion h (Cosinus, definiert auf [mm] [0..\pi] [/mm] ist
dies z.B. nur das Intervall [-1..+1] .


LG    Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Umkehrfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Di 18.05.2010
Autor: zocca21

Okay und da die Funktion im Bereich von [-1,1] alle Werte annehmen kann für das angegeben Intervall ist es auch surjektiv.

Also bijektiv trifft sowohl für cos(x) als auch [mm] cos(x)^3 [/mm] zu..

Zur Aufgabe b)

Hätte ich folgendes gedacht:

y = [mm] cos(x)^3 [/mm]

x = 1 / [mm] cos(y)^3 [/mm]

Nun nehme ich die Funktion:

g'(y) = 1 / f'(x)

g'(y) = [mm] \bruch{1}{3(-sinx)^2} [/mm]

einsetzen für x

g'(y) =  [mm] \bruch{1}{3(-sin(cos(y)^3)^2} [/mm]

Ist dass die vorgehensweise vom Prinzip?

Bezug
                                        
Bezug
Umkehrfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Mi 19.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Okay und da die Funktion im Bereich von [-1,1] alle Werte
> annehmen kann für das angegeben Intervall ist es auch
> surjektiv.
>  
> Also bijektiv trifft sowohl für cos(x) als auch [mm]cos(x)^3[/mm]
> zu..
>  
> Zur Aufgabe b)
>  
> Hätte ich folgendes gedacht:
>  
> y = [mm]cos(x)^3[/mm]
>  
> x = 1 / [mm]cos(y)^3[/mm]      [notok]

   Richtig aufgelöst:    [mm] x=arccos(\wurzel[3]{y}) [/mm]

   (wobei ausnahmsweise auch Kubikwurzeln aus negativen Zahlen
   zugelassen werden sollen, z.B. [mm] \wurzel[3]{-0.125}=-0.5 [/mm] )

  

> Nun nehme ich die Funktion:
>  
> g'(y) = 1 / f'(x)

   ...mit g meinst du also die Umkehrfunktion von f
  

> g'(y) = [mm]\bruch{1}{3(-sinx)^2}[/mm]      [notok]

Bestimme zuerst die korrekte Ableitung der Funktion f !
(Kettenregel beachten)


LG     Al-Chw.

Bezug
                                                
Bezug
Umkehrfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Mi 19.05.2010
Autor: zocca21

nochmal
b)

y = [mm] cos(x)^3 [/mm]

[mm] \wurzel[3]{y} [/mm] = cos(x)

x = [mm] arcos(\wurzel[3]{y}) [/mm]

Nun Ableiten:

arcos(x) abgeleitet [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-x²}} [/mm]

f'(x) = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-x²)}} [/mm] * [mm] (\wurzel[3]{x)} [/mm] * 1/3 x^(-2/3)

f'(x) = [mm] \bruch{-(\wurzel[3]{x}}{\wurzel{1-x²}} [/mm] *1/3 x^(-2/3)

korrekt? bzw...bin muss es heißen X' =...y.. so dass ich am Ende für y dann y= cos(x)³ einsetzen kann?

Bin etwas verwirrt..


Bezug
                                                        
Bezug
Umkehrfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mi 19.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> nochmal
> b)
>  
> y = [mm]cos(x)^3[/mm]
>  
> [mm]\wurzel[3]{y}[/mm] = cos(x)
>  
> x = [mm]arcos(\wurzel[3]{y})[/mm]
>  
> Nun Ableiten:
>  
> arcos(x) abgeleitet [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-x²)}}[/mm] * [mm](\wurzel[3]{x)}[/mm] * 1/3
> x^(-2/3)
>
> f'(x) = [mm]\bruch{-(\wurzel[3]{x}}{\wurzel{1-x²}}[/mm] *1/3
> x^(-2/3)
>  
> korrekt? bzw...bin muss es heißen X' =...y.. so dass ich
> am Ende für y dann y= cos(x)³ einsetzen kann?
>
> Bin etwas verwirrt..



Hallo zocca21,

ich würde schon die Formel   [mm] g'(y)=\frac{1}{f'(x)} [/mm]  mit  [mm] g=f^{-1} [/mm]  verwenden.
Es ist

       [mm] f'(x)=3*cos^2(x)*(-sin(x)) [/mm]

Also folgt:

       [mm] g'(y)=\frac{1}{3*cos^2(x)*(-sin(x)) }=\frac{-1}{3*sin(x)*cos^2(x)} [/mm]  

Falls ich die Aufgabe richtig verstanden habe, war  
[mm] \left(f^{-1}\right)'\left(f(x_0)\right) [/mm]  gefragt für den Fall, dass [mm] x_0 [/mm] gegeben sei.

Das Ergebnis wäre dann (falls ich die Aufgabe nicht falsch
interpretiert habe) :

       [mm] $\left(f^{-1}\right)'\left(f(x_0)\right) =\frac{-1}{3*sin(x_0)*cos^2(x_0)}$ [/mm]


LG    Al-Chw.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de