Umkehrfunktionen und weiteres < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:11 Di 22.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
| Aufgabe | | Wie lauten die Umkehrfunktionen von: |
Wie kann ich bestimmen ob die Funktion eine Umkehrfunktion hat, weiss dass sie bijektiv sein muss und damit sie bijektiv ist muss sie injektiv und surjektiv sein. Injektiv heisst wenn ich das richtig verstehe, dass einem wert aus dem definitionsbereicht NUR ein wert aus dem Wertebereich zugeordnet wird. surjektiv , dass es für jeden wert aus dem wertebereich ein wert im definitionsbereicht gibt. Kann mit jemand helfen dass für dei aufgaben 1 und 2 anzuwenden wie gehe ich am besten vor?
danke im voraus
grüße nevo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Di 22.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo nevo99!
Was hält Dich davon ab, die Aufgabenstellung hier direkt einzutippen? Zumal es sich hier um alles andere als komplizierte Eingaben handelt.
So wälzt Du die Tipparbeit auf die Helfenden ab.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mi 23.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
| Aufgabe | Wie lauten die Umkehrfunktionen von:
a) f: [mm] R\(0)->R\(0), f(x)=\bruch{1}{2x}
[/mm]
soll heissen R ohne 0
b) f: R0+ ->R0+, [mm] f(x)=\wurzel{3x}
[/mm]
c) f: R+ -> R+, f(x)= 2e^(x-0,5) |
so habe die aufgabe abgetippt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mi 23.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist dir klar, was eine Umkehrfunktion ist?
wenn du etwas rückgängig machst, also wenn du f(x)=2x hast also x mit2 mult dann ist die Umkehrun wieder durch 2 z dividieren,
Wenn du etwas quadrierst f(x)=x² dann ist die unkehrung das Wurzeluiehen, allerdings nur für x>0
formal kann man es machen, indem man f(x)=y setzt also im bsp y=2y, jetzt x und y vertauschen x=2y y=y/2 ist die Umkehrfkt.
anschaulich ist der Graph der umkehrfkt, der Graph der Fkt an der Winkelhakbierenden gespiegelt. damit das wieder eine fkt ist, muss f monoton sein.
Nun versuch es mal mit deinen Funktionen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Fr 25.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
bei mir kommt für a) dann folgendes Raus:
a) [mm] y=\bruch{1}{2x} [/mm] jetzt nach x auflösen ergibt: x= [mm] \bruch{1}{2y} [/mm] dann x und y vertauschen ergibt wieder die ausgangsfunktion.... weiss nicht obs stimmt.
[mm] f^{-1} [/mm] : [mm] \IR\backslash{0} \to \IR\backslasch [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x} [/mm]
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Hallo,
> bei mir kommt für a) dann folgendes Raus:
>
> a) [mm]y=\bruch{1}{2x}[/mm] jetzt nach x auflösen ergibt: x=
> [mm]\bruch{1}{2y}[/mm] dann x und y vertauschen ergibt wieder die
> ausgangsfunktion.... weiss nicht obs stimmt.
> [mm]f^{-1}[/mm] : [mm]\IR\backslash{0} \to \IR\backslasch[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2x}[/mm]
man kann das schwer nachvollziehen was du schreibst. Aber wegen
[mm] x=\bruch{1}{ay} [/mm] <=> [mm] y=\bruch{1}{ax}
[/mm]
und [mm] f(x)\ne{0} [/mm] ist es hier tatsächlich so, dass die Funktion mit ihrer Umkehrfunktion identisch ist. Es ist nicht unmittelbar ersichtlich, aber der Graph liegt symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden, was man sich abedr ersteinmal klarmachen muss.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 25.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
für b)
f(x)= [mm] \wurzel{3x} [/mm] jetzt nach x auflösen ergibt [mm] \bruch{y^{2}}{3} [/mm] = x x und y vertauschen ergibt : [mm] \bruch{x^{2}}{3} [/mm] = y
für c) y= [mm] 2e^{x-0,5} [/mm] nach x auflösen ergibt bei mir [mm] \log_{e}(y) [/mm] + 0,5 =x x und y vertausche ergibt: [mm] \log_{e}(x) [/mm] + 0,5 =y
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Hallo,
> für b)
> f(x)= [mm]\wurzel{3x}[/mm] jetzt nach x auflösen ergibt
> [mm]\bruch{y^{2}}{3}[/mm] = x x und y vertauschen ergibt :
> [mm]\bruch{x^{2}}{3}[/mm] = y
Ja.
>
> für c) y= [mm]2e^{x-0,5}[/mm] nach x auflösen ergibt bei mir
> [mm]\log_{e}(y)[/mm] + 0,5 =x x und y vertausche ergibt:
> [mm]\log_{e}(x)[/mm] + 0,5 =y
Das ist falsch.
Generell solltest du folgendes beachten: eine Funktion besteht grundsätzlich aus folgenden drei Dingen: Definitionsmenge, Zielmenge sowie ihrer Funktionsvorschrift. In einer Klausur oder auch nur einer Seminararbeit kann es Punktabzug geben, wenn man gerade bei Aufgaben zur Umkehrfunktion nicht Definitions- und Zielmenge angibt (was ja hier nicht schwierig ist).
Außerdem sollte man an Stelle von
[mm]\bruch{x^2}{3}=y[/mm]
besser
[mm]y=\bruch{x^2}{3}[/mm]
und hier noch besser
[mm]f^{(-1)}(x)=\bruch{x^2}{3}[/mm]
schreiben. Wenn die Funktionsvariable auf der rechten Seite steht, dann liest sich das sehr 'holprig'.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 25.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
danke für die schnelle hilfe, was wäre denn die umkehrfunktion von c)? komme gerade nicht weiter...
ab jetzt schreibe ich das formal korrekt hin :)
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Hallo,
> danke für die schnelle hilfe, was wäre denn die
> umkehrfunktion von c)? komme gerade nicht weiter...
wo genau kommst du nicht weiter?
> ab jetzt schreibe ich das formal korrekt hin :)
schön. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Fr 25.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
meine funktion lautet [mm] y=2e^{x-0,5} [/mm] würde jetzt erst mal durch 2 teilen... ->
[mm] \bruch{y}{2}= e^{x-0,5} [/mm] jetzt würde ich logarithmieren(weiß ncht ob der Ausdruck richtig ist)... -> [mm] ln(\bruch{y}{2}) [/mm] = x - 0,5 jetzt + 0,5 ergibt dann
[mm] ln(\bruch{y}{2}) [/mm] + 0,5 = X > x und y vertauschen ->
[mm] f^{-1}: \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x -> [mm] ln(\bruch{x}{2}) [/mm] + 0,5
stimmt das so? (keine ahnung warum das nicht richtig angezeigt wird....)
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Hallo,
> meine funktion lautet [mm]y=2e^{x-0,5}[/mm] würde jetzt erst mal
> durch 2 teilen... ->
> [mm]\bruch{y}{2}= e^{x-0,5}[/mm] jetzt würde ich
> logarithmieren(weiß ncht ob der Ausdruck richtig ist)...
> -> [mm]ln(\bruch{y}{2})[/mm] = x - 0,5 jetzt + 0,5 ergibt dann
> [mm]ln(\bruch{y}{2})[/mm] + 0,5 = X > x und y vertauschen ->
>
> [mm]f^{-1}: \IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] x -> [mm]ln(\bruch{x}{2})[/mm] + 0,5
>
> stimmt das so?
Der Funktionsterm stimmt, Definitions- und Zielmenge sind falsch!
> (keine ahnung warum das nicht richtig
> angezeigt wird....)
Übung macht den Meister!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Fr 25.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
[mm] f^{-1}: \IR_0^+ [/mm] -> [mm] \IR_0^+, [/mm] x-> [mm] ln(\bruch{x}{2}) [/mm] Begründung: definitionsbereich darf nicht egativ sein wegen dem logaritmus, ziel bereich auch da negative werte aus dem zielbereich nicht erreicht werden können ?!?!?!
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Hallo,
> [mm]f^{-1}: \IR_0^+[/mm] -> [mm]\IR_0^+,[/mm] x-> [mm]ln(\bruch{x}{2})[/mm]
> Begründung: definitionsbereich darf nicht egativ sein
> wegen dem logaritmus, ziel bereich auch da negative werte
> aus dem zielbereich nicht erreicht werden können ?!?!?!
Jetzt hast du beim Funktionsterm die +1/2 vergessen.
Und deine Begründung ist ganz falsch: die richtige Begründung lautet: weil die Definitions- in die Wertemenge abgebildet wird und umgekehrt. Vereinfacht gesprochen: Definitions- und Wertemenge werden beim Umkehren vertauscht.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 25.01.2013 | | Autor: | CJcom |
> [mm]f^{-1}: \IR_0^+[/mm] -> [mm]\IR_0^+,[/mm] x-> [mm]ln(\bruch{x}{2})[/mm]
> Begründung: definitionsbereich darf nicht egativ sein
> wegen dem logaritmus, ziel bereich auch da negative werte
> aus dem zielbereich nicht erreicht werden können ?!?!?!
Überlege noch mal: Definitionsbereich: Was passiert für ln(0)?
Wertemenge: Wie sieht eine ln-Funktion aus? Können dort wirklich nur positive Zahlen, einschließlich 0 erreicht werden?
Gruß
CJ
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:10 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo CJCom,
> > [mm]f^{-1}: \IR_0^+[/mm] -> [mm]\IR_0^+,[/mm] x-> [mm]ln(\bruch{x}{2})[/mm]
> > Begründung: definitionsbereich darf nicht egativ sein
> > wegen dem logaritmus, ziel bereich auch da negative werte
> > aus dem zielbereich nicht erreicht werden können ?!?!?!
>
> Überlege noch mal: Definitionsbereich: Was passiert für
> ln(0)?
> Wertemenge: Wie sieht eine ln-Funktion aus? Können dort
> wirklich nur positive Zahlen, einschließlich 0 erreicht
> werden?
In diesem Fall: eindeutig ja! Denn die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion ist [mm] \IR^{+}, [/mm] zumindest hat der Themenstarter dies so angegeben!
Aus dem gleichen Grund ist seine Definitionsmenge nicht [mm] \IR^{+}, [/mm] sondern eine Teilmenge dvon-. Er müsste zunächst die Wertemenge der Augangsfunktion bestimmen...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Di 22.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo nevo,
auch wenn es ein Übungsblatt Deines Professors ist, ist damit sicher nicht das Recht verbunden, dieses hier im Forum zu veröffentlichen.
Tippe doch schnell die Aufgabe ab, um die es geht, lang ist sie ja wirklich nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 25.01.2013 | | Autor: | nevo99 |
| Aufgabe | | Welche der Funktionen sind surjektiv oder injektiv? |
a) f : [mm] \IR_0^+ [/mm] --> [mm] \IR_0^+, [/mm] x-> X²
b) f : [mm] \IQ [/mm] --> [mm] \IQ, [/mm] x -> 2 * [mm] x^{4}
[/mm]
c) f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x -> -7x-3
Weiss nicht wie das überprüfen kann logische betrachtet kann an bei a) sagen dass aufgrund des Definitions- und Zielbereiches injektiv ist, da jedem wert aus dem wertebereich nur 1 wert des defininitionsbereiches zugeordnet werden kann, aber wie prüfe ich das rechnerisch? Man kann hab ich mal gehört das gegenteil überprüfen und dass dann wiederlegen... a) ist auch surjektiv da jeder wert des definitionsberecheis mit einem wert des zelbereiches erreicht werden kann.
bei b) wäre weder injektiv noch surjektiv, da durch die potenz [mm] x^4 [/mm] für x=-2 und x=+2 das gleiche rauskäme, sie ist auch nicht surjektiv da negative werte aus dem wertebereich nicht erreicht werden können
für c) wäre injektiv und surjektiv
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Hallo,
bitte starte in Zukunft für eine neue Frage einen neuen Thread, der Übersicht halber.
> Welche der Funktionen sind surjektiv oder injektiv?
> a) f : [mm]\IR_0^+[/mm] --> [mm]\IR_0^+,[/mm] x-> X²
> b) f : [mm]\IQ[/mm] --> [mm]\IQ,[/mm] x -> 2 * [mm]x^{4}[/mm]
> c) f : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] x -> -7x-3
>
> Weiss nicht wie das überprüfen kann logische betrachtet
> kann an bei a) sagen dass aufgrund des Definitions- und
> Zielbereiches injektiv ist, da jedem wert aus dem
> wertebereich nur 1 wert des defininitionsbereiches
> zugeordnet werden kann, aber wie prüfe ich das
> rechnerisch?
Zeige für [mm] x_1\ne{x_2} [/mm] => [mm] f(x_1)\ne{f(x_2)}
[/mm]
Aber bei diesem Typ Aufgaben macht eigentlich nachrechnen keinen Sinn, weil das Resultat offensichtlich ist.
> Man kann hab ich mal gehört das gegenteil
> überprüfen und dass dann wiederlegen... a) ist auch
> surjektiv da jeder wert des definitionsberecheis mit einem
> wert des zelbereiches erreicht werden kann.
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bei b) wäre weder injektiv noch surjektiv, da durch die
> potenz [mm]x^4[/mm] für x=-2 und x=+2 das gleiche rauskäme, sie
> ist auch nicht surjektiv da negative werte aus dem
> wertebereich nicht erreicht werden können
Auch das ist richtig.
> für c) wäre injektiv und surjektiv
Passt.
Gruß, Diophant
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