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| Aufgabe | | Berechne die Umlaufzahl [mm] $\xi(C,1)$ [/mm] (d.h. wie oft umläuft die Kurve C den Punkt z=1) mit $C(t) = [mm] \frac{\sqrt{2}*\cos(t)*(1+i*\sin(t))}{1+sin^{2}(t)}$ [/mm] mit [mm] $t\in[0,2\pi]$. [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich irgendwie nicht weiter. Es geht um's berechnen, d.h. ich darf nicht einfach eine Zeichnung machen und die Zahl so herausfinden.
Die Definition der Umlaufzahl ist:
[mm] $\xi(C,1):=\frac{1}{2*\pi*i}*\int_{C}\frac{1}{w-1}\ [/mm] dw = [mm] \int_{0}^{2*\pi}\frac{\phi'(t)}{\phi(t)-1}\ [/mm] dt$.
Allerdings kommt da ja ein Monster-Term raus, wenn ich wirklich die Kurve einsetze, und man kann da auch nicht viel kürzen. Uns wurde der Tipp gegeben, dass man sowas wie den Cauchy'schen Integralsatz nochmal auspacken könnte, aber ich sehe nicht, wo das hier passt.
Was mir aufgefallen ist: Ich brauche im Grunde im Wegintegral ja nur den Imaginärteil zu beachten, der Realteil muss ja verschwinden, weil als Ergebnis eine ganze Zahl herauskommen soll. Das hat mir aber auch nicht weitergeholfen.
Ich bitte um einen Tipp!
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mi 30.06.2010 | | Autor: | zorin |
Man kann sich überlegen (berechnen), wie sich die Windungszahl ändert, wenn man die Kurve kreuzt. Weit draußen ist die Windungszahl 0. Hier bietet sich an, sich auf der reellen Achse von rechts der 1 zu nähern.
Also wann/wo schneidet die Kurve die reelle Achse bzw. wann ist der Imaginärteil 0? Und mit welcher Orientierung (oder Vorzeichen) schneidet die Kurve z.B. den Punkt [mm] \wurzel{2} [/mm] (von wo nach wo)?
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