Umordnung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass jede komplexe Zahl z [mm] \in \IC [/mm] als Wert einer Umordnung der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^{n-1}}{n} [/mm] realisiert werden kann. Gilt dieser Sachverhalt auch dür eine beliebige konvergent, nicht absolut-konvergente Reihe komplexer Zahlen? |
Guten Abend^^
Ich komme mir dieser Aufgabe nicht ganz klar. Ich hab mir ersmal die Reihe angeschaut. Es [mm] gilt:\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^{n-1}}{n}=i^{0}+\bruch{i}{2}+\bruch{i^{2}}{3}+\bruch{i^{3}}{4}+...=1+\bruch{i}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{i}{3}+\bruch{1}{5}+\bruch{i}{6}+....
[/mm]
Es ist schon intuitiv klar, dass als Wert der Reihe eine komplexe Zahl rauskommen wird.
Aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich an den Beweis rangehen soll,
was genau muss ich jetzt zeigen?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
Realteil und Imaginärteil der Reihe
Riemannscher Umordnungssatz
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
> Tipps:
>
> Realteil und Imaginärteil der Reihe
>
> Riemannscher Umordnungssatz
Danke für die Tipps, ich bin jetzt soweit gekommen.
Zuerst Reihe in Real-und Imaginärteil zerlegen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^{n-1}}{n}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2n-1}+i*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2n}.
[/mm]
Die beiden Reihen konvergieren nach dem Abel Dirichlet Kriterium, sind aber nicht absolut konvergent. Ich kann also den Riemannschen Umordnungssatz anwenden.
Jetzt betrachte ich beide Reihen und wähle für die erste Reihe zwei Zahlen a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a=b. Die Reihe konvergiert also gegen a. Analog mache ich das bei der zweiten mit c=d [mm] \in \IR. [/mm] Die Reihe konvergiert gegen c. So kann ich nacheinander alle beliebeigen reellen Zahlen und deren Kombinationen durchgehen und erhalte somit jede komplexe Zahl als Grenzwert der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^{n-1}}{n}.
[/mm]
Ist das so in Ordnung?
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 25.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
