Umschreibung Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:51 Sa 08.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Wieso ist [mm] \summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n} [/mm] - 2 [mm] \summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2N} [/mm] ?
Wäre euch wie immer für eine Antwort dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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> Hallo zusammen!
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> Wieso ist [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2N}[/mm]
> ?
Hallo,
so stimmt es nicht, richtig ist
[mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2\red{n}}[/mm] .
Schreib Dir doch [mm] \summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] [/mm] mal für z.B. N=5 aus.
Ich denke, so kommst Du der Sache auf die Spur.
LG Angela
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> Wäre euch wie immer für eine Antwort dankbar!
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> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 08.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo,
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> so stimmt es nicht, richtig ist
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> [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2\red{n}}[/mm]
> .
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> Schreib Dir doch [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm][/mm]
> mal für z.B. N=5 aus.
> Ich denke, so kommst Du der Sache auf die Spur.
>
> LG Angela
Hallo Angela,
ups ja da habe ich mich verschrieben, aber ach Mensch klar .. Danke für den Tipp!
es wird ja wie folgt summiert für N=3: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 und das kann man auch schreiben als 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 - 2* 1/2 - 2* 1/4 - 2* 1/6,
Aber Frage: ändert diese Umschreibung nicht das Konvergenzverhalten?
Es soll [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} [/mm] = log2 mithilfe der Euler-Mascheronischen Konstante gezeigt werden.
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Sa 08.07.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei der zweiten Darstellung kann man die Konvergenz nicht mehr zeigen, da beide summen divergieren . das ändert aber an der Darstellung bis N nichts.
Wenn du die Summen als Treppenfunktion unter 1/x auffasst
wird die erste durch ln(2N) das zweite durch ln(N) angenähert, damit ln(2N)-ln(N)=ln(2N/N)=ln2 und den Unterschied zur Summe gibt eben deine Euler-Mascheronischen Konstante an.
Gruß ledum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:49 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi ledum / leduart ( wie möchtest du genannt werden?  )
Ich habe es nun verstanden, vielen Dank auch dir!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Sa 08.07.2017 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
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> > so stimmt es nicht, richtig ist
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2\red{n}}[/mm]
> > .
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> >
> > Schreib Dir doch [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm][/mm]
> > mal für z.B. N=5 aus.
> > Ich denke, so kommst Du der Sache auf die Spur.
> >
> > LG Angela
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> Hallo Angela,
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> ups ja da habe ich mich verschrieben, aber ach Mensch klar
> .. Danke für den Tipp!
> es wird ja wie folgt summiert für N=3: 1 - 1/2 + 1/3 -
> 1/4 + 1/5 - 1/6 und das kann man auch schreiben als 1 + 1/2
> + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 - 2* 1/2 - 2* 1/4 - 2* 1/6,
also mal "mit dem Summenzeichen allgemeiner symbolisch gerechnet": Für jedes
$N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1} \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{N}(-1)^{2k-1}*\frac{1}{2k}+ \sum_{m=1}^{N}(-1)^{2m-2}*\frac{1}{2m-1}= -\,\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}+ \sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m-1}$
[/mm]
$= [mm] \left(\red{+}\,\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}+ \sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m-1}\right)\;\;\red{-}2*\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{k=1}^{2N} \frac{1}{k}\;\;-2*\sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m}$
[/mm]
>
> Aber Frage: ändert diese Umschreibung nicht das
> Konvergenzverhalten?
Na, gedanklich denkst Du da schon einen Schritt zu weit. Aus obigem folgt:
[mm] $\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right)=\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{2N} \frac{1}{k}\;\;-2*\sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m}\right)$
[/mm]
Das ist überhaupt kein Problem!!
"Gedanklich" wolltest Du aber sicher schon einen Schritt weiter gehen
und hast an sowas wie
[mm] $...\red{=\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{2N} \frac{1}{k}\right)\;\;-\lim_{N \to \infty}\left(2*\sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m}\right)}$
[/mm]
gedacht: Das darfst Du natürlich NICHT! (Die Harmonische Reihe divergiert!!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:48 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi Marcel,
Danke auch für deinen Beitrag, ich habe es nun kapiert! 
Viele Grüße,
X3nion
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