Umstellen einer Gleichung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Diagonalen eines Rechtecks besitzen die Länge 5. Wie groß ist der größtmögliche Umfang den solch ein Rechteck besitzen kann? |
Ole ole...das ist mir jetzt klar... vielen Dank!
Ne Frage zu oben genannter Fragestellung... Wie würdet Ihr das verstehen? Eine Diagonale ist 5 oder beide zusammen sind 5?
Und dann mal ne echt blöde Frage... bleibt der Umfang nicht immer gleich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
Bitte für eine neue Frage / Aufgabe auch einen neuen Thread eröffnen.
Hierbei handelt es sich um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung. Die Hauptbedingung ist der Umfang, der sich bei einem Rechteck ergibt zu:
[mm] $$u_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ a+b+a+b \ = \ 2a+2b$$
Die Nebenbedingung wird hier genannt durch die Diagonalenlänge:
$$d \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] \ = ß 5$$
Diese Gleichung nun auflösen nach $b \ = \ ...$ und in die Umfangsformel einsetzen. Damit erhältst Du die Zielfunktion $u(a)_$ , die nur noch von $a_$ abhängt.
Hierfür nun eine Extremwertberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung etc.).
Gruß
Loddar
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Das ist klar soweit.... Da steh ich nur gleich wieder vor meinem Hauptproblem.. umstellen wenn ich Wurzeln drin hab...ich kann damit irgendwie überhaupt nicht.....
[mm] \wurzel{a^2+b^2}=5 [/mm] ist nicht das Gleiche wie [mm] \wurzel{a^2}+\wurzel{b^2}=5 [/mm] richtig? Wenn es so wäre, wäre das auflösen ja einfach.....
Was mach ich denn nun wenn ich aus der Wurzel das [mm] b^2 [/mm] rausbekommen will? Das ist mir jedesmal aufs neue ein Rätsel......
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
> [mm]\wurzel{a^2+b^2}=5[/mm] ist nicht das Gleiche wie [mm]\wurzel{a^2}+\wurzel{b^2}=5[/mm] richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig erkannt!
Um hier [mm]\wurzel{a^2+b^2}=5[/mm] die Wurzel zu eliminieren, kannst Du die Gleichung quadrieren:
[mm] $$a^2+b^2 [/mm] \ = \ [mm] 5^2 [/mm] \ = \ 25$$
Gruß
Loddar
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Nun werde ich das mal versuchen.. wenn ich fertig bin, schreib ich meine Lösung mal hier rein..... mal schauen obs dann stimmt....
Könnte ich die Gleichung auch nach a auflösen oder hat es einen tieferen Sinn, dass ich nach b auflöse?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
In diesem Falle ist es völlig egal, ob Du nach $a_$ oder $b_$ auflöst.
Gruß
Loddar
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Wenn ich nach b aufgelöst habe, kommt ja +/- [mm] \wurzel{25-a^2} [/mm] raus... Das Minus kann ich doch wegfallen lassen oder? Mein Umfang kann ja nie negativ werden....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerbaby!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig erkannt ...
Gruß
Loddar
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Du wirst zu meinem persönlichen Mathelehrer.. *gg*... aber immerhin versteh ich jetzt endlich mal was...
So, ich habe nun b ausgerechnet:
b= [mm] \wurzel{25-a^2}
[/mm]
dann in Uformel eingesetzt:
U(a)= [mm] 2a+2\wurzel{25-a^2}
[/mm]
1.Ableitung:
U´(a)= [mm] 2+\bruch{2a}{\wurzel{25-a^2}}
[/mm]
Soweit richtig?
Und nun? Muss ich jetzt nach a auflösen? Wenn ja hab ich schon wieder ein Problem... Ich hasse Wurzeln....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 02.12.2007 | | Autor: | Wutzi |
Guuuuuuuude,
du suchst ja eine Bedingung, bei der der Flächeninhalt maximal wird, also suchst du in der ersten Ableitung nach einer Nullstelle, weil dort der Extremwert vorliegt.
Du musst also die erste Ableitung gleich Null setzen und dann nach a auflösen. Keine Angst, Wurzeln kann man wegquadrieren!
Rauskommen sollte: +- Wurzel(12,5)
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Ups... stimmt.... habs nun mal aufgelöst und bekomme das Selbe raus wie Du... Aber die negative Wurzel fällt ja wieder weg, da mein Umfang ja nie negativ werden kann...
Also bleibt noch [mm] +\wurzel{12,5} [/mm] über...
Jetzt setzt ich das a einfach in die Umfangsformel ein und bekomme so den größtmöglichen Umfang. Wäre dann hier: 14,14
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Aber wenn ich das richtig sehe, ist a und b nun gleich groß, was bedeutet es ist ein quadrat.... da steht aber rechteck.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 So 02.12.2007 | | Autor: | Wutzi |
Jo
die negative Wurzel fällt natürlich weg.
Bei solchen Aufgaben, wo der Umfang oder der Flächeninhalt maximal werden sollen kommen immer Quadrate raus, die haben einfach, das optimalste Verhältnis.
Ein Quadrat ist auch immer ein Rechteck, nur nicht andersherum, Quadrat ist Teilmenge von Rechteck, wobei Rechteck ja nur aussagt, dass es sich um eine Fläche mit 4 rechten Winkeln handelt!
Schönen Abend noch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 02.12.2007 | | Autor: | Wutzi |
neg. Wurzel entfällt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 02.12.2007 | | Autor: | Wutzi |
Falsch!
Deine Ableitung ist falsch!
U'(a) = 2 - [mm] 2a/\wurzel{25-a²}
[/mm]
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