Unabhängige Ereignisse < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Shakho |
| Aufgabe | Der englische Naturforscher Sir Francis (1822 - 1911) untersuchte den Zusammenhang zwischen der Augenfarbe von 1000 Vätern und je einem ihrer Söhne. Die Ereignisse sind in der nebenstehenden Vierfeldertafel dargestellt. Dabei sei V das Ereignis "Sohn ist helläugig", S das Ereignis "Sohn ist helläugig". Untersuche Sie V und S auf Unabhängigkeit.
S [mm] \overline{S}
[/mm]
V 471 151
[mm] \overline{V} [/mm] 148 230 |
Hallo,
Da ich bisher noch icht mit der Vierfeldertafel gearbeitet habe, wollte ich fragen, wie man diese Aufgabe löst.
Ich soll ja die Unabhängigkeit nachweisen, also muss ich P(S) = Pv(S).
Und da wollte ich die halt von P(S) ausrechnen, jedoch weiß ich nicht wie!
Ich hoffe auf eure Hilfe.
Danke schonmal im Vorraus!!!
Mit freundlichen Grüßen
Shakho
|
|
| |
|
> Der englische Naturforscher Sir Francis (1822 - 1911)
> untersuchte den Zusammenhang zwischen der Augenfarbe von
> 1000 Vätern und je einem ihrer Söhne. Die Ereignisse sind
> in der nebenstehenden Vierfeldertafel dargestellt. Dabei
> sei V das Ereignis "Sohn ist helläugig", S das Ereignis
> "Sohn ist helläugig". Untersuche Sie V und S auf
> Unabhängigkeit.
>
> S [mm]\overline{S}[/mm]
> V 471 151
> [mm]\overline{V}[/mm] 148 230
> Hallo,
>
> Da ich bisher noch icht mit der Vierfeldertafel gearbeitet
> habe, wollte ich fragen, wie man diese Aufgabe löst.
> Ich soll ja die Unabhängigkeit nachweisen, also muss ich
> P(S) = Pv(S).
Ich bin nicht ganz sicher, was Du damit meinst. Ich gehe davon aus, dass Du zum Nachweis der Unabhängigkeit von $S$ und $V$ zeigen musst, dass
[mm]\mathrm{P}(V\cap S)=\mathrm{P}(V)\cdot \mathrm{P}(S)[/mm]
gilt.
> Und da wollte ich die halt von P(S) ausrechnen, jedoch weiß
> ich nicht wie!
Dies entnimmst Du einfach der Vierfeldertafel (wir gehen dabei natürlich davon aus, dass die fragliche Wahrscheinlichkeit - ungefähr - gleich der aus der Stichprobe ablesbaren relativen Häufigkeit ist). Damit hast Du
[mm]\mathrm{P}(S)=\mathrm{P}\big((S\cap V)\cup (S\cap \overline{V})\big)=\mathrm{P}(S\cap V)+\mathrm{P}(S\cap \overline{V}) \approx \frac{471}{1000}+\frac{148}{1000}\approx 0.62[/mm]
Entsprechend ist [mm] $\mathrm{P}(V)=\mathrm{P}\big((S\cap V)\cup(\overline{S}\cap V)\big)=\mathrm{P}(S\cap V)+\mathrm{P}(\overline{S}\cap V)\approx \ldots$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Die Vierfelder-Tafel hast du ja schon aufgestellt. Du solltest allerderdings noch die Summen bilden:
Waagerecht:
471 + 151 = 622 (Väter)
148 + 230 = 378
Senkrecht:
471 + 148 = 619 (Söhne)
151 + 230 = 381
Alle vier Zahlen zusammen ergeben 1000 (=100 %).
Du musst nun alle Zahlen auf Prozent umrechnen - oder noch besser:
Die 1000 entspricht EINS - was ja einfach ist, weil man nur jeweils das Komma um 3 Stellen nach links verschiebt.
Nun schreibe die Vierfelder-Tafel noch mal neu: mit EINS ganz unten rechts in der Ecke.
Und nun musst du nur noch vergleichen wie sich Vater * Sohn zu (Vater und Sohn) verhält:
0.622 * 0.619 = 0.385 - Vater * Sohn
0.471 - Vater und Sohn
Je stärker diese Zahlen voneinander abweichen, desto abhängiger sind die Ereignisse.
ZUSATZÜBERLEGUNG:
Völlige Unabhängigkeit herrscht z.B. zwischen zwei Würfeln.
Stell da mal eine Vierfelder-Tafel auf mit z.B.
Würfel 1: gerade/ungerade
Würfel 2: gerade/ungerade
Da sind dann beide Ergenisse identisch: 0.5 * 0.5 = 0.25
|
|
|
|
