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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Unabhängige Zufallsvariablen
Unabhängige Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Unabhängige Zufallsvariablen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Fr 06.06.2014
Autor: Topologe

Aufgabe
Es seien X,Y unabhängige Zufallsvariablen mit

[mm] \IP(X=i)=\IP(Y=i)=\bruch{1}{2^{i}}, [/mm] i [mm] \in \IN. [/mm]

Zeigen Sie, dass für jedes k [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \IP(X\ge kY)=\bruch{2}{2^{k+1}-1}. [/mm]

Hi, ich bin's nochmal^^

Habe die Aufgabe bearbeitet, jedoch kommt nicht das gewünschte Ergebnis heraus. Bin's nochmal öfter durchgegangen aber ich seh den Fehler nicht, also seh wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht^^ Also ich habe geschrieben:

[mm] \IP(X \ge kY)=\IP(\{X=k,Y=k\}\cup\{X=k+1,Y=k\}\cup...\cup\{X=2k,Y=2k\}\cup\{X=2k+1,Y=2k\}\cup....) [/mm]

[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}\IP(X=mk+j,Y=mk)=\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}\IP(X=mk+j)*\IP(Y=mk)=\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{mk+j}(\bruch{1}{2})^{mk} [/mm]

[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2mk}\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{j}=\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2mk}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}=\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2mk}*2 [/mm]

[mm] =2\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2^{2k}})^{m}=(\bruch{1}{2})^{2k-1}\summe_{m=0}^{\infty}(\bruch{1}{2^{2k}})^{m}=(\bruch{1}{2})^{2k-1}*\bruch{1}{1-(\bruch{1}{2})^{2k}} [/mm]

[mm] =(\bruch{1}{2})^{2k-1}*\bruch{1}{\bruch{2^{2k}-1}{2^{2k}}} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{2k-1}*\bruch{2^{2k}}{2^{2k}-1} =\bruch{2^{2k}}{2^{2k-1}(2^{2k}-1)} [/mm]

[mm] =\bruch{2^{2k-1}*2}{2^{2k-1}(2^{2k}-1)}=\bruch{2}{2^{2k}-1} [/mm]

Nur wo ist jetzt hier der Fehler? Würde mich freuen, wenn mal jemand kurz rüberschaut :-)

        
Bezug
Unabhängige Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:42 Fr 06.06.2014
Autor: luis52



> Habe die Aufgabe bearbeitet, jedoch kommt nicht das
> gewünschte Ergebnis heraus.  

Und die ist wie?

Bezug
                
Bezug
Unabhängige Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Sa 07.06.2014
Autor: Topologe

Die Aufgabe oder das gewuenschte Ergebnis?

Bezug
                        
Bezug
Unabhängige Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Sa 07.06.2014
Autor: luis52


> Die Aufgabe oder das gewuenschte Ergebnis?

Letzteres.


Bezug
                                
Bezug
Unabhängige Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Sa 07.06.2014
Autor: Topologe

Das gewünschte Ergebnis wäre:

[mm] \IP(X\ge kY)=\bruch{2}{2^{k+1}-1}, \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm]

Bezug
        
Bezug
Unabhängige Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Sa 07.06.2014
Autor: luis52

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Dein Anfang lautet:

> Also ich habe geschrieben:

> $ \IP(X \ge kY)=\IP(\{X=k,Y=k\}\cup\{X=k+1,Y=k\}\cup...\cup\{X=2k,Y=2k\}\cup\{X=2k+1,Y=2k\}\cup....) $.

Wieso ist z.B. $(X=k,Y=k\}\subset(X \ge kY)$?



Bezug
                
Bezug
Unabhängige Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 Mo 09.06.2014
Autor: Topologe

Stimmt!

[mm] P(X\ge kY)=P(\{X=k,Y=1\}\cup\{X=k+1,Y=1\}\cup...\cup\{X=2k,Y=2\}\cup\{X=2k+1,Y=2\}\cup...) [/mm]

[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}P(X=mk+j,Y=m)=\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}P(X=mk+j)P(Y=m) [/mm]

[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{mk+j}(\bruch{1}{2})^{m}=\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{mk}(\bruch{1}{2})^{m}\summe_{j=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{j} [/mm]

[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2^{k}})^{m}(\bruch{1}{2})^{m}*2=2\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2^{k+1}})^{m}=(\bruch{1}{2})^{k}\summe_{m=0}^{\infty}(\bruch{1}{2^{k+1}})^{m} [/mm]

[mm] =(\bruch{1}{2})^{k}*\bruch{1}{1-({\bruch{1}{2})^{k+1}}}=(\bruch{1}{2})^{k}*\bruch{1}{\bruch{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}}=(\bruch{1}{2})^{k}*\bruch{2^{k+1}}{2^{k+1}-1}=\bruch{2}{2^{k+1}-1} [/mm]

Bezug
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