Unabhängigkeit - Kartenspiel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Kartenstapel besteht aus 52 = 4 * 13 Karten in den Spielfarben Karo, Herz, Pik und Kreuz und den Werten 2,3,4,..,9,10, B,D,K,A sei perfekt gemischt, d.h. wir nehmen an, das jede Reihenfolge der 52 Karten gleich wahrscheinlich ist.
a) Wir betrachten die folgenden Ereignisse:
A1: die oberste Karte hat die Spielfarbe Karo.
A2: die unterste Karte hat die Spielfarbe Pik.
A3: die unterste Spielkarte ist eine 10.
A4: die obersten zwei Karten haben die gleiche Spielfarbe
Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeiten [mm] Pr(A_{i}\cap A_{j}) [/mm] für alle Konstellationen 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] 4 und stellen Sie damit fest, welche der Ereignispaare unabhängig sind.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten 5 Karten genau 4 Karten gleicher Farbe sind? |
Ich bin leider schon etwas raus aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und habe das letzte mal vor 2 Jahren damit gearbeitet.
zu a)
n = 52
A1: r=13 [mm] \to [/mm] 13/52
A2: r=13 [mm] \to [/mm] 13/52
A3: r=4 [mm] \to [/mm] 4/52
A4: r=13 beim ersten Zug
r=12 beim zweiten Zug n-1
[mm] \to [/mm] 13/52*12/51
Wie bestimme ich nun Pr für die entsprechenden Konstellationen?
zu b) habe ich leider noch gar nichts.
Wäre über jede Hilfe dankbar.
LG
Thunder
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Do 18.12.2008 | | Autor: | adoon |
Hyho
Dein A4 ist falsch: Es ist nur verlangt, dass die ersten 2 Karten die selbe Farbe haben, also könnte das Karo sein (Wahrsch.: [mm] \frac{13}{52}*\frac{12}{52}) [/mm] oder es könnte Pik sein, dafür gibts genaus viele und analog Herz und Kreuz, macht also insgesamt 4 * [mm] \frac{13}{52}*\frac{12}{52} [/mm] = [mm] \frac{12}{52}
[/mm]
Prinzipiell würde ich anders an die Aufgabe rangehen. In der Aufgabe steht ja schon der Hinweis, dass eine Gleichverteilung über alle Permutationen der Karten gegeben ist. Also würde es Sinn machen, wenn du dir überlegst, wieviele günstige Permutationen es gibt und wieviele insgesamt (52!) und dann die Günstigen durch die Möglichen teilst.
Konkret bedeutet das: zB. für [mm] Pr(A_1 \cap A_2): [/mm] Die oberste ist eine Karo, die Unterste ist eine Pik. Also gibt es für die oberste Karte 13 Mgl, für die unterste 13 und für alle Anderen 50!. Macht insgesamt [mm] \frac{13*13*50!}{52!} \approx [/mm] 0,0637.
Und unabhängig sind die Ereignisse, wenn [mm] Pr(A_1 \cap A_2) [/mm] = [mm] Pr(A_1)*Pr(A_2). [/mm] In diesem Fall sind die Ereignisse also nicht unabhängig.
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ok vielen Dank hab ich soweit verstanden. das wäre dann für
Pr (A1 [mm] \cap [/mm] A3) = [mm] \bruch{13*4*50!}{51}
[/mm]
Da die oberste Karte ein Karo ist und die unterste Karte eine 10.
Pr (A2 [mm] \cap [/mm] A3) = [mm] \bruch{1}{52} [/mm] da es genau eine Pik 10 gibt und die muss unten liegen.
bin ich damit auf dem richtigen Wege hihi
FÜr die b)
3 * [mm] \bruch{13}{52} [/mm] * [mm] \bruch{13}{51} [/mm] * [mm] \bruch{12}{50} [/mm] * [mm] \bruch{11}{49} [/mm] * [mm] \bruch{10}{48}
[/mm]
Die erste Karte kann eine beliebig andere Farbe haben (3* 13) jede weitere Karte muss dann die entsprechende Farbe haben. Da mit jedem Zug eine Karter weniger wird ändert sich n und r wird ebenfalls mit jedem Zug um eins kleiner, da nur noch r-1 Karten von der entsprechenden Farbe im Deck sind?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Do 18.12.2008 | | Autor: | thunder12 |
Sry verschrieben weiß leider nicht wie ich einen Post editieren kann :(
das sollte natürlich so heißen
Pr (A1 [mm] \cap [/mm] A3) = [mm] \bruch{13\cdot{}4\cdot{}50!}{52!}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:28 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Fulla |
Hi thunder12,
> ok vielen Dank hab ich soweit verstanden. das wäre dann für
>
> Pr (A1 [mm]\cap[/mm] A3) = [mm]\bruch{13*4*50!}{51}[/mm]
>
> Da die oberste Karte ein Karo ist und die unterste Karte
> eine 10.
und was ist, wenn die Karo-Karte, die oben liegt die Karo 10 ist? Bzw was, wenn die die 10, die unten liegt die Karo 10 ist?
> Pr (A2 [mm]\cap[/mm] A3) = [mm]\bruch{1}{52}[/mm] da es genau eine Pik 10
> gibt und die muss unten liegen.
jap!
> bin ich damit auf dem richtigen Wege hihi
>
> FÜr die b)
>
> 3 * [mm]\bruch{13}{52}[/mm] * [mm]\bruch{13}{51}[/mm] * [mm]\bruch{12}{50}[/mm] *
> [mm]\bruch{11}{49}[/mm] * [mm]\bruch{10}{48}[/mm]
>
> Die erste Karte kann eine beliebig andere Farbe haben (3*
> 13) jede weitere Karte muss dann die entsprechende Farbe
> haben. Da mit jedem Zug eine Karter weniger wird ändert
> sich n und r wird ebenfalls mit jedem Zug um eins kleiner,
> da nur noch r-1 Karten von der entsprechenden Farbe im Deck
> sind?
>
> lg
Aber könnte ja auch sein, dass die zweite Karte eine andere Farbe als die anderen hat... oder die vierte....
Hier würde ich eher den Binomialkoeffizienten bemühen:
[mm] $\dfrac{{4\choose 1}*{13\choose 4}*{39\choose 1}}{{52\choose 5}}$ [/mm]
Du wählst eine aus 4 Farben, dann 4 Karten aus 13 dieser Farbe und eine Karte einer anderen Farbe (52-13=39).
Lieben Gruß,
Fulla
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