Unabhängigkeit der ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen, dass wenn X,Y unabhängig , dann s^(X) und s^(Y) unabhängig für alle s. |
Ich gehe so vor:
sei (X,Y) Zufallsvektor, und U:=g1(X,Y)=s^(X) und V:=g2(X,Y)=s^(Y) bijektiv mit Umkehrfunktionen h1 und h2.
Dann nach Transformationsregel gilt:
Die gemeinsame Dichte von U,V ist
fu,v = det(J)*fx,y(h1(U;V),h2(U,V)) = det(J)*fx*fy,
da X,Y unabhängig.
aber wie komme ich dazu, dass fu,v = fu*fv?
oder ist der Ansatz falsch?
Bin sehr dankbar für die Hilfe:o)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Beweisen, dass wenn X,Y unabhängig , dann s^(X) und s^(Y)
> unabhängig für alle s.
Das geht aber nur, wenn man bestimmte Voraussetzungen an $s$ und/oder $X$ und $Y$ stellt!
> Ich gehe so vor:
> sei (X,Y) Zufallsvektor, und U:=g1(X,Y)=s^(X) und
> V:=g2(X,Y)=s^(Y) bijektiv mit Umkehrfunktionen h1 und h2.
Wenn z.B. $s = 1$ ist, dann ist das sicher nicht bijektiv, oder?
> Dann nach Transformationsregel gilt:
> Die gemeinsame Dichte von U,V ist
Woher weisst du ueberhaupt, dass die Zufallsvariblen eine Dichte haben?
> fu,v = det(J)*fx,y(h1(U;V),h2(U,V)) = det(J)*fx*fy,
> da X,Y unabhängig.
> aber wie komme ich dazu, dass fu,v = fu*fv?
>
> oder ist der Ansatz falsch?
Ich denke du setzt viel zu viel voraus, oder du hast das alles nicht hier hingeschrieben.
Viel einfacher geht das direkt ueber die Definition von unabhaengig: Zwei Zufallsvariablen $U, V : [mm] (\Omega, \mathscr{A}) \to (\IR, \IB)$ [/mm] heissen unabhaengig, wenn fuer je zwei Mengen $A, B [mm] \in \IB$ [/mm] gilt [mm] $U^{-1}(A)$ [/mm] und [mm] $V^{-1}(B)$ [/mm] sind unabhaengig, also [mm] $P(U^{-1}(A) \cap V^{-1}(B)) [/mm] = [mm] P(U^{-1}(A)) P(V^{-1}(B))$.
[/mm]
Damit kannst du sogar mit dem gleichen Aufwand die folgende, viel allgemeinere Aussage beweisen:
Sind $X, Y : [mm] (\Omega, \mathscr{A}) \to (\IR, \IB)$ [/mm] Zufallsvariablen und sind $f, g : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] messbar, so sind die Zufallsvariablen $f(X), g(Y)$ messbar. Das daraus deine Aussage oben folgt ist klar, oder?
Um das zu zeigen, nimmst du dir einfach zwei Mengen $A, B [mm] \in \IB$ [/mm] und betrachtest $(f [mm] \circ X)^{-1}(A) [/mm] = [mm] X^{-1}(f^{-1}(A)) [/mm] = [mm] X^{-1}(A')$ [/mm] und $(g [mm] \circ Y)^{-1}(B) [/mm] = [mm] Y^{-1}(f^{-1}(B)) [/mm] = [mm] Y^{-1}(B')$ [/mm] mit $A' = [mm] f^{-1}(A) \in \IB$ [/mm] und $B' = [mm] g^{-1}(B) \in \IB$. [/mm] Da $X$ und $Y$ unabhaengig sind, ... Jetzt solltest du es auch alleine weitermachen koennen 
LG Felix
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