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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mo 13.05.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | | Seien [mm] Y_{1},Y_{2} [/mm] unabhängig und beide nach [mm] N(0,\sigma^{2}) [/mm] verteilt. Zeigen Sie, dass [mm] Y_{1}+Y_{2} [/mm] und [mm] Y_{1}-Y_{2} [/mm] unabhängig sind. |
Hallo!
Mein bisheriges Vorgehen: Da [mm] Y_{1} [/mm] und [mm] Y_{2} [/mm] unabhängig und normalverteilt sind, sind auch Summe und Differenz normalverteilt mit [mm] Y_{1}+Y_{2} [/mm] und [mm] Y_{1}-Y_{2} \sim N(0,2\sigma^{2}).
[/mm]
Weiter sind ja Zufallsgrößen, die normalverteilt und unkorreliert sind, unabhängig. Also dachte ich mir, dass ich nur noch zeigen muss, dass [mm] A:=Y_{1}+Y_{2} [/mm] und [mm] B:=Y_{1}-Y_{2} [/mm] unkorreliert sind, also Cov(A,B)=0.
Für mich naheliegend: Cov(A,B)=E(AB)-E(A)E(B) Da ja E(A)=E(B)=0 hieße das: Cov(A,B)=E(AB)
Leider komme ich nun nicht weiter.
Würdet ihr genauso vorgehen, oder bietet sich ein besserer (einfacherer) Lösungsweg an? Wie kann ich zeigen, dass die Beiden Zufallsgrößen unkorreliert sind?
Vielen Dank!
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> Seien [mm]Y_{1},Y_{2}[/mm] unabhängig und beide nach
> [mm]N(0,\sigma^{2})[/mm] verteilt. Zeigen Sie, dass [mm]Y_{1}+Y_{2}[/mm] und
> [mm]Y_{1}-Y_{2}[/mm] unabhängig sind.
> Hallo!
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> Mein bisheriges Vorgehen: Da [mm]Y_{1}[/mm] und [mm]Y_{2}[/mm] unabhängig
> und normalverteilt sind, sind auch Summe und Differenz
> normalverteilt mit [mm]Y_{1}+Y_{2}[/mm] und [mm]Y_{1}-Y_{2} \sim N(0,2\sigma^{2}).[/mm]
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> Weiter sind ja Zufallsgrößen, die normalverteilt und
> unkorreliert sind, unabhängig. Also dachte ich mir, dass
> ich nur noch zeigen muss, dass [mm]A:=Y_{1}+Y_{2}[/mm] und
> [mm]B:=Y_{1}-Y_{2}[/mm] unkorreliert sind, also Cov(A,B)=0.
>
> Für mich naheliegend: Cov(A,B)=E(AB)-E(A)E(B) Da ja
> E(A)=E(B)=0 hieße das: Cov(A,B)=E(AB)
>
> Leider komme ich nun nicht weiter.
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> Würdet ihr genauso vorgehen, oder bietet sich ein besserer
> (einfacherer) Lösungsweg an? Wie kann ich zeigen, dass die
> Beiden Zufallsgrößen unkorreliert sind?
>
Hallo,
benutze, dass die Kovarianz eine Bilinearform ist. Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier unter dem Stichpunkt für die Kovarianz
> Vielen Dank!
Viele Grüße
Blasco
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Ah! Vielen Dank!
Also dann: [mm] cov(Y_{1}+Y_{2},B)=cov(Y_{1},B)+cov(Y_{2},B)=cov(Y_{1}-Y_{2},Y_{1})+cov(Y_{1}-Y_{2},Y_{2})=cov(Y_{1},Y_{1})-cov(Y_{1},Y_{2})+cov(Y_{1},Y_{2})-cov(Y_{2},Y_{2})=var(Y_{1})-var(Y_{2})=0
[/mm]
Korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 15.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Mi 15.05.2013 | | Autor: | blascowitz |
Ja das ist richtig so.
Viele Grüße
Blasco
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Hiho,
> Für mich naheliegend: Cov(A,B)=E(AB)-E(A)E(B)
> Da ja E(A)=E(B)=0 hieße das: Cov(A,B)=E(AB)
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> Leider komme ich nun nicht weiter.
Bis hierhin gut, rechne doch jetzt einfach E(AB) aus!
Du weißt was A ist, was B ist, einsetzen => fertig.
MFG,
Gono.
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