Unabhängigkeit von ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Mialein |
Ich habe hier folgende Übungsaufgabe:
Sei [mm] (X_{n})^{ \infty}_{n=1} [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen mit [mm] P(X_{n}=2^{n})= \bruch{1}{2^{n}} [/mm] und [mm] P(X_{n}=0)=1-\bruch{1}{2^{n}} [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Erfüllt [mm] (X_{n}) [/mm] das Starke Gesetz der Großen Zahlen?
Zunächst einmal das SGGZ:
[mm] (X_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge unabhängiger, integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}Var(X_{n})< \infty
[/mm]
Dann gilt
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n}[X_{i}-E(X_{i})] \to [/mm] 0 fast sicher.
Ich muss hier die VSS des SGGZ zeigen, oder?
Dass die [mm] X_{n} [/mm] integrierbar sind ist klar, da der EW Null ist. Ebenso die Varianz. Bleibt also nur noch die Unabhängigkeit der ZV zu zeigen, aber genau daran scheiter ich, ich kann nämlich mit der Definition nichts anfangen, die sieht nämlich wie folgt aus:
Eine Familie [mm] X_{i} [/mm] von ZV heißt unabhängig, falls [mm] P(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}} \cap....\cap X_{i_{n}}\in A_{i_{n}})=P(X _{i_{1}}\in A_{i_{1}})....P(X _{i_{n}}\in A_{i_{n}})
[/mm]
Für jede Auswahl [mm] i_{1},...i_{n} [/mm] aus I
Die Definition ist viel zu abstrakt, ich habe doch gar keine Ereignisse, oder?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, da dies vorallem etwas Grundlegendes ist, dass ich beherrschen sollte
Mialein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Di 18.01.2005 | | Autor: | david4501 |
Der Erwartungswert ist nicht 0, überlege mal, was er sein kann:
EX = 0* P(X=0) + [mm] 2^n*P(X=2^n) [/mm] = ...
Damit kannst du die Varianz über die Verschiebungsformel berechnen:
[mm] Var(X)=E(X^2) [/mm] - [mm] (EX)^2
[/mm]
Gilt dann das Summenkriterium für die Varianz? Welche Konvergenz-
kriterien für Reihen kennst du um das nachzuprüfen?
Zur U.A.keit:
Du musst für alle möglichen Ereignisse [mm] A_i [/mm] prüfen, ob diese Beziehung gilt,
also z.B. für die zwei Ereignisse [mm] $A_1=\{X_n=0\}$ [/mm] und $ [mm] A_2=\{X_m=2^n\}$
[/mm]
[mm] P(A_1 \cap A_2) [/mm] =?= [mm] P(A_1) [/mm] * [mm] P(A_2)
[/mm]
Wenn U.A.keit
vorliegt, dann müsste diese Gleichheit stets (für alle Ereignisse und nicht nur die, die wir hier ausgewählt haben) gelten. Außerdem müsstest du
mehr als nur 2 Ereignisse nehmen können und die W.keit vom Schnitt
sollte immer gleich dem Produkt der W.keit sein.
Aus Mangel an Informationen können diese Bedingungen hier allerdings
wohl nicht nachgeprüft werden! (U.A.keit sollte in der Aufgabenstellung
vorausgesetzt werden!)
Hoffe das hilft dir?
Gruß
David
> Ich habe hier folgende Übungsaufgabe:
>
> Sei [mm](X_{n})^{ \infty}_{n=1}[/mm] eine Folge von Zufallsvariablen
> mit [mm]P(X_{n}=2^{n})= \bruch{1}{2^{n}}[/mm] und
> [mm]P(X_{n}=0)=1-\bruch{1}{2^{n}}[/mm] für alle [mm]n\in \IN.
[/mm]
>
>
> Erfüllt [mm](X_{n})[/mm] das Starke Gesetz der Großen Zahlen?
>
> Zunächst einmal das SGGZ:
> [mm](X_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge unabhängiger,
> integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}Var(X_{n})< \infty
[/mm]
>
> Dann gilt
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n}[X_{i}-E(X_{i})] \to[/mm] 0 fast
> sicher.
>
> Ich muss hier die VSS des SGGZ zeigen, oder?
>
> Dass die [mm]X_{n}[/mm] integrierbar sind ist klar, da der EW Null
> ist. Ebenso die Varianz. Bleibt also nur noch die
> Unabhängigkeit der ZV zu zeigen, aber genau daran scheiter
> ich, ich kann nämlich mit der Definition nichts anfangen,
> die sieht nämlich wie folgt aus:
>
> Eine Familie [mm]X_{i}[/mm] von ZV heißt unabhängig, falls
> [mm]P(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}} \cap....\cap X_{i_{n}}\in A_{i_{n}})=P(X _{i_{1}}\in A_{i_{1}})....P(X _{i_{n}}\in A_{i_{n}})
[/mm]
>
>
> Für jede Auswahl [mm]i_{1},...i_{n}[/mm] aus I
>
> Die Definition ist viel zu abstrakt, ich habe doch gar
> keine Ereignisse, oder?
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, da dies vorallem etwas
> Grundlegendes ist, dass ich beherrschen sollte
>
> Mialein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 18.01.2005 | | Autor: | Mialein |
Hallo David!
Erst mal danke
zum EW:
unsere Definition lautete wie folgend:
E(X)= [mm] \integral [/mm] X dP
Und da es ja nur zwei Ereignisse gibt, deren ws nicht Null ist (da ja die Summe der WS, der beiden anderen Ereignisse 1 ist), also nur eine menge vom Null nicht Null ist, das Integral Null sein muss.
Gruß, Mialein
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Das ist schon ok so, die Formel stimmt. Bloß du musst sie jetzt auf
ZVen anwenden, die nur Werte in der Menge [mm] $W:=\{0, 2^n\}$ [/mm]
annehmen können. Dann wird das Integral (mittels Transformations-
formel) zu einer Summe:
[mm] \integral_{\Omega} [/mm] X dP = [mm] \integral_{W} [/mm] x [mm] dP^X [/mm] = [mm] 0*P^X(\{0\}) [/mm] + [mm] 2^n*P^X(\{2^n\}) [/mm] = [mm] 2^n*P(\{X=2^n\})
[/mm]
Gruß,
david
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, zunächst einmal kannst du das Kriterium hier wegen
[mm] $Var(X_n) [/mm] = [mm] 4^n \cdot 2^{-n} [/mm] -1 = [mm] 2^n [/mm] -1 $
und daher
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{Var(X_n)}{n^2} [/mm] = + [mm] \infty$
[/mm]
in die Tonne kloppen!
Zweitens muss die Unabhängigkeit der [mm] $X_n$ [/mm] gefordert werden (die kann man ohne weitere Voraussetzung nicht zeigen, das ist Blödsinn, da man über die gemeinsame Verteilung nicht Bescheid weiß!).
So, wir machen jetzt aber mal einen typischen W-Theorie-Trick: Was nicht passt, wird passend gemacht! Das heißt, wir schneiden die Zufallsvariablen ab!
Betrachte also:
[mm] $Y_n [/mm] = [mm] 1_{[-0.1, 0.1]} \circ X_n$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $Var[Y_n] [/mm] =1 - [mm] 2^{-n} [/mm] - [mm] (1-2^{-n})^2$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
und damit
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{Var[Y_n]}{n^2} [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Somit genügt die Folge [mm] $(Y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] nach dem von dir zitierten Kriterium von Kolmogorov dem starken Gesetz der großen Zahlen (denn mit der geforderten (!) Unabhängigkeit von [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] kann man auf die Unabhängigkeit der Folge [mm] $(Y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] schließen).
Nun gilt:
[mm] $P(X_n \ne Y_n [/mm] -1 ) = [mm] \frac{1}{2^n}$
[/mm]
und daher:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} P(X_n \ne Y_n [/mm] - 1) < + [mm] \infty$.
[/mm]
Aus [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} P(X_n \ne Y_n [/mm] - 1) < + [mm] \infty$ [/mm] folgt mit dem Lemma von Borel-Cantelli.:
[mm] $P(X_n \ne Y_n [/mm] - [mm] 1\quad \mbox{für unendlich viele n}) [/mm] = 0$.
Daher gilt $P$-fast sicher:
[mm] $X_n [/mm] = [mm] Y_n [/mm] -1 $ für alle bis auf endlich viele $n$.
Daraus folgt $P$-fast sicher:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \summe_{i=1}^n (X_i- E[X_i]) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \summe_{i=1}^n (Y_i [/mm] -2) = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \summe_{i=1}^n (Y_i -(1-2^{-i}) [/mm] -1) = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \summe_{i=1}^n (Y_i -E[Y_i] [/mm] -1) = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \summe_{i=1}^n (Y_i -E[Y_i]) [/mm] - 1 = 0-1 = -1 [mm] \ne [/mm] 0$,
d.h. [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] genügt nicht dem SSGZ.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo, elegante Lösung. Ich hätte allerdings einige Fragen dazu:
1.) Was genau ergibt sich bei dir für [mm] VarX_n [/mm] bzw. [mm] EX_n?
[/mm]
2.) Basierend auf 1.) , wie ergibt sich das beim Stutzen verwendete Intervall [-0.1,0.1] ?
3.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_n [/mm] = [mm] EX_n [/mm]
Gruß
David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Do 20.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo David!
Beim nochmaligen Überprüfen sehe ich, dass ich mich vertan habe. Ich denke mittlerweile, dass die Folge nicht dem SGGZ genügt (siehe oben) Danke, ohne deine Nachfragen hätte ich das glatt übersehen. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> 1.) Was genau ergibt sich bei dir für [mm]VarX_n[/mm] bzw. [mm]EX_n?
[/mm]
Ja, ich hatte einen Rechenfehler, den ich gleich verbessere. Danke! 
Es gilt:
[mm] $E[X_n] [/mm] = [mm] 2^n \cdot P(X_n=2^n) [/mm] + 0 [mm] \cdot P(X_n=0) [/mm] = [mm] 2^n \cdot \frac{1}{2^n} [/mm] + 0 [mm] \cdot \left( 1 - \frac{1}{2^n}\right) [/mm] = 1$
und
[mm] $Var[X_n] [/mm] = [mm] (2^n)^2 \cdor P(X_n=2^n) [/mm] + [mm] 0^2 \cdot P(X_n=0) [/mm] - [mm] (E[X_n])^2 [/mm] = [mm] 2^n [/mm] - 1$.
> 2.) Basierend auf 1.) , wie ergibt sich das beim Stutzen
> verwendete Intervall [-0.1,0.1] ?
Ich sorge dafür, dass der Bereich, wo die Varianz abhaut, auf $0$ gedämpft wird. Du kannst auch jedes beliebige andere beschränkte Intervall nehmen.
> 3.) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_n[/mm]
> = [mm]EX_n[/mm]
Nein.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo stefan,
bei Frage Nr.2) hast du mich noch nicht ganz verstanden: Die Stutzen-
Technik würde doch dann wie folgt lauten:
[mm] Y_n^m [/mm] := [mm] 1_{[-m,m]} \circ X_n [/mm] mit [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} Y_n^m =X_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann müsste man beim Nachprüfen des SGGZ allerdings Summation über n und Limesbildung über m (im Sinne von Bepo Levi oder ähnlichem) vertauschen können.
Vielleicht ändert das ja noch was an deiner Lösung und das SGGZ
ist anwendbar? Wäre doch schade, wenn's nicht klappt! :)
Gruß
David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Do 20.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo David!
> [mm]Y_n^m[/mm] := [mm]1_{[-m,m]} \circ X_n[/mm] mit
> [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} Y_n^m =X_n[/mm] für alle n [mm]\in \IN.
[/mm]
Jetzt machst du schon die gleichen Fehler wie ich. 
Wenn, dann muss man
[mm]Y_n^m[/mm] := [mm] X_n \cdot[/mm] [mm]1_{[-m,m]} \circ X_n[/mm]
ansetzen, sonst wäre [mm] $Y_n^m$ [/mm] an den Stellen gleich $1$, wo [mm] $X_n$ [/mm] gleich $0$ ist.
Aber ich sehe irgendwie nicht, dass das damit dann klappt, habe es gerade versucht :-(
Ist denn mein Beweis falsch? Ich habe ja jetzt gezeigt, dass [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] nicht dem SGGZ genügt, oder habe ich schon wieder einen Fehler gemacht? Das ist das Problem, wenn man einen Tag vor dem Umzug in das eigene Haus versucht Mathe zu machen, da klappt gar nichts. Es wäre nett, wenn du meinen Beweis noch einmal Korrektur lesen könntest. Danke!
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Do 20.01.2005 | | Autor: | david4501 |
Hallo Stefan, vielen Dank für deinen Hinweis! Das scheint jetzt wohl so ok zu sein:
[mm] A_n^m [/mm] := [mm] \{X_n \leq m\} \to \Omega [/mm] (m [mm] \to \infty) [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]
und somit
[mm] Y_n^m [/mm] := [mm] X_n [/mm] * [mm] 1_{A_n^m} \to X_n [/mm] (m [mm] \to \infty) [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]
Weiter gilt wegen [mm] EX_n=1 [/mm] und [mm] VarX_n= 2^n [/mm] -1 auch
[mm] EY_n^m [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } 2^n > m \\ 1, & \mbox{für } 2^n \le m \end{cases}
[/mm]
[mm] VarY_n^m [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } 2^n > m \\ 2^n-1 \le m, & \mbox{für } 2^n \le m \end{cases}
[/mm]
Daher ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{VarY_n^m}{n^2} \le \mbox{m} [/mm] * [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle m [mm] \in \IN
[/mm]
Weiter ist [mm] P(\{X_n \not= Y_n^m\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] für alle m [mm] \in \IN,
[/mm]
d.h. wegen Borel-Cantelli sind [mm] X_n [/mm] und [mm] Y_n^m [/mm] für n groß und m beliebig,
P-f.s. gleich.
Auf [mm] Y_n^m [/mm] ist das SGGZ anwendbar und man erhält schließlich mit dem Satz von Lebesgue und Bepo Levi:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (X_i [/mm] - [mm] EX_i) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (\limes_{m\rightarrow\infty}Y_i^m [/mm] - [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}EY_i^m) [/mm]
= [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] \underbrace{ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (Y_i^m - EY_i^m) }_{=0} [/mm] ] = 0.
Gruß,
David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Do 20.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber David!
Ich habe jetzt doch Zweifel, ob man die beiden Grenzwerte so vertauschen darf, wie du es am Schluss machst. Und auch meine Lösung stimmt wieder nicht. Leider bin ich sehr im Stress, so dass ich nicht richtig nachdenken kann.
Vorschlag: Ich denke demnächst noch einmal in Ruhe darüber nach, ja?
Vielen Dank für deine aktive Mitarbeit!!!
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 20.01.2005 | | Autor: | david4501 |
Hallo Stefan,
es kann ja eigentlich nur noch am Vertauschen der Limiten für n und
m am Ende des Beweises liegen. Um alle Zweifel aus der Welt zu räumen könnte man da vielleicht sowas machen:
Mit
[mm] Z_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n}(X_i [/mm] - [mm] EX_i) [/mm] und
[mm] Z_n^m [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n}(Y_i^m [/mm] - [mm] EY_i^m) [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
gilt:
[mm] \{ Z_n^m >0 \} [/mm] = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} \{ Y_j^m >0 \} [/mm] = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} (\{ X_j=2^j \} \cap \{ 2^j \le m \}) [/mm] = [mm] \begin{cases} \emptyset, & \mbox{für } 2^n > m \\ \bigcup_{j=1}^{n} \{ X_j=2^j \}, & \mbox{für } 2^n \le m \end{cases}
[/mm]
Daher ist [mm] P(\{ Z_n^m >0 \}) \le \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{2^j} [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und wir erhalten schließlich:
0 [mm] \le P(\{Z_n>0\}) \le \summe_{m \ge 2^n} P(\{ Z_n^m >0 \}) \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm] für alle m [mm] \in \IN.
[/mm]
Das interessante dabei ist, daß ich nirgends mehr verwendet hab, daß
die Folge der [mm] Y_n^m [/mm] dem SGGZ genügt. Außerdem wird das etwas "undurchsichtige" Limesvertauschen auch ganz umgangen.
Gruß
David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo David!
> Daher ist [mm]P(\{ Z_n^m >0 \}) \le \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{2^j}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] und wir erhalten
> schließlich:
>
> 0 [mm]\le P(\{Z_n>0\}) \le \summe_{m \ge 2^n} P(\{ Z_n^m >0 \}) \to[/mm]
> 0 (n [mm]\to \infty)[/mm] für alle m [mm]\in \IN.
[/mm]
Für mich schmuggelst du hier wieder eine (in diesem Fall unzulässige) Grenzvertauschung rein, indem du Grenzwert und Reihe vertauschst.
Ich glaube mittlerweile, dass die Folge nicht dem SGGZ genügt und meine das ja auch bewiesen zu haben, jedenfalls kann ich an meinem Beweis keinen Fehler entdecken.
Mittlerweile habe ich mir auch einen schöneren Beweis überlegt, der ohne die Unabhängigkeitsannahme der [mm] $X_n$ [/mm] auskommt.
Wegen
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}P(X_k=2^k) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^{-k} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
gilt nach Borel-Cantelli
[mm] $P(X_k=2^k \quad \mbox{für unendlich viele}\ [/mm] k) =0$.
Aber für jedes [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] mit
[mm] $X_k(\omega)=0$ [/mm] für fast alle $k$
haben wir:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (X_k [/mm] - [mm] E[X_k]) [/mm] = -1 [mm] \ne [/mm] 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Di 25.01.2005 | | Autor: | david4501 |
Bei genauerem Hinsehen, glaube ich mittlerweile auch, daß
die Folge nicht dem SGGZ genügt. Die W.keit, daß [mm] X_n [/mm] für
große n noch den Wert [mm] 2^n [/mm] annimmt geht ja gegen 0.
Allerdings deutet deine Schreibweise am Ende der Ausführung auf
eine Art analytische, punktweise Konvergenz und keine P-fast sichere hin. Ich glaube nicht, daß man sagen kann, daß der Grenzwert
wirklich -1 wird. Ist ja aber auch nicht nötig, es soll ja
nur 0 oder >0 gezeigt werden... wie dem auch sei, es wäre an der Zeit, daß Mialein vielleicht was dazu sagt. Gibt's in der Zwischenzeit eine offizielle Lösung vom Übungsleiter???
Bis dahin,
Gruß
David
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