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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute!
Ich habe folgende Frage und zwar habe ich folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{2(x+1)}dx} [/mm] wenn ich es ausrechne bekomme ich als Lösung [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ln(2x+2).
Soweit so gut.
Wenn ich nun aus obigem Integral das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] herausziehe, da es ja eine Konstante ist sieht das Integral wie folgt aus:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x+1)}dx}
[/mm]
Dieses Integral liefert diese Lösung:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ln(x+1)
Setze ich nun bei beiden Lösungen, die normalerweise ja gleich sein müssten, für X=5 ein. Somit kommt bei den zwei Lösungen was unterschiedliches heraus.
Kann mir bitte irgendjemand erklären was ich falsch mache oder wo ich einen Denkfehler habe?
Vielen Dank schon mal im Voraus für Eure zahlreichen Antworten.
mfg Meisterjäger
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Hallo Meisterjaeger und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute!
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> Ich habe folgende Frage und zwar habe ich folgendes
> Integral:
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{2(x+1)}dx}[/mm] wenn ich es
> ausrechne bekomme ich als Lösung [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * ln(2x+2). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Soweit so gut.
>
> Wenn ich nun aus obigem Integral das [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> herausziehe, da es ja eine Konstante ist sieht das Integral
> wie folgt aus:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x+1)}dx}[/mm]
>
> Dieses Integral liefert diese Lösung:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
* ln(x+1)
>
> Setze ich nun bei beiden Lösungen, die normalerweise ja
> gleich sein müssten, für X=5 ein. Somit kommt bei den zwei
> Lösungen was unterschiedliches heraus.
>
> Kann mir bitte irgendjemand erklären was ich falsch mache
> oder wo ich einen Denkfehler habe?
Nun, beide Integrale sind unbestimmte Integrale und die beiden Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Integrationskonstante.
Beachte: $\frac{1}{2}\ln(2x+2)=\frac{1}{2}\ln(2(x+1))=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\ln(2)+\ln(x+1)\right]=\frac{1}{2}\ln(x+1)}\blue{+\frac{\ln(2)}{2}}$
Und das ist bis auf die Konstante $\frac{\ln(2)}{2}$ genau "die andere Stammfunktion"
Ein unbestimmtes Integral liefert dir ja nicht die Stammfunktion, sondern eine Klasse oder Menge von Funktionen, die eine Stammfunktion sind und sich jeweils nur durch eine Integrationskonstante unterscheiden, wie hier auch
Gib dir doch mal feste Grenzen vor und berechne auf beide Weisen das bestimmte Integral, dann kommt dasselbe heraus ...
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus für Eure zahlreichen
> Antworten.
Naja, zumindest schon mal eine 
>
> mfg Meisterjäger
>
LG
schachuzipus
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Danke erstmal für deine Antwort! Das hilft mir schon enorm weiter ;)
dh. wenn ich dieses Integral nun berechnen soll sind beide Lösungen richtig?
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Hallo nochmal,
> Ok dh. wenn ich dieses Integral nun berechnen soll sind
> beide Lösungen richtig?
Sagen wir, beides sind Vertreter aus der Menge der Stammfunktionen
Allg. wäre eine Stammfunktion [mm] $F(x)=\frac{1}{2}\ln(x+1) [/mm] \ + \ c$ mit beliebigem [mm] $c\in\IR$
[/mm]
Bei dem einen Vertreter hier ist $c=0$, bei dem anderen [mm] $c=\frac{\ln(2)}{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Danke vielmals für Deine Antwort ;)
lg Meisterjäger
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