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Forum "Integration" - Unbestimmtes Integral
Unbestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Unbestimmtes Integral: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Sa 18.06.2005
Autor: Julinchen

Hallo,

ich habe als Aufgabe das unbestimmte Integral [mm] \integral {\sin³x dx}[/mm]. Lösen soll man es entweder über partielle Integration oder über Substitution.
Ich habe es nun über Substitution versucht und komme leider nicht auf das vom Professor vorgegebene Ergebnis.
Meine Schritt:
Ich setze z = sinx und z' = cosx
Dann kommt bei mir am Ende [mm] [mm] \bruch{1}{4}\sin^{4}x \* \bruch{1}{cosx} [/mm]

Das Ergebnis meines Profs ist aber [mm] \bruch{1}{3}\cos^{3}x - cosx[/mm]

Ich habe die Aufgabe jetzt mehrmals gerechnet und stecke irgendwie fest!! Ich hoffe mir kann jemand helfen..

LG
Jule

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.

        
Bezug
Unbestimmtes Integral: Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Sa 18.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Julinchen!


Bei diesem Integral mußt Du in drei Schritten vorgehen:

1. Schritt Partielle Integration

[mm] $\integral_{}^{}{\sin^3(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{}{\underbrace{\sin(x)}_{=u'}*\underbrace{\sin^2(x)}_{=v} \ dx} [/mm] \ = \ ...$


Das nun entstehende Integral wird mit gelöst mit dem ...

2. Schritt Substitution

Tipp: $t \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm]


Um nun auf das vorgegebene Ergebnis zu kommen, muß man noch etwas umformen und zusammenfassen. Dafür benötigst Du auch den ...

3. Schritt Umformen: trigonometrischer Pythagoras

[mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$   [mm] $\gdw$ $\sin^2(x) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \cos^2(x)$ [/mm]


Erhältst Du nun das gewünschte Ergebnis? Sonst melde Dich doch nochmal mit Deinen Zwischenergebnissen ...

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Unbestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Sa 18.06.2005
Autor: Julinchen

Hallo,

dann komme ich auf u = -cosx   und  u' = sinx  und  v = sin²x   und   v' = 2cosx

Durch uv [mm]\integral {uv' dx}[/mm] ergibt sich -cosx * sin²x - [mm]\integral {-cosx * 2cosx dx}[/mm]
Das forme ich weiter um in -cosx * sin²x + 2  [mm]\integral {cos²x dx}[/mm]

So und nun kann ich doch nicht substituieren oder doch? Vielleicht bin ich ja auch vollkommen auf dem Holzweg mit meinen Formeln hab ich so langsam das Gefühl.

LG
Julia

Bezug
                        
Bezug
Unbestimmtes Integral: Fehler in Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Sa 18.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!


> dann komme ich auf u = -cosx   und  u' = sinx

[daumenhoch]


> und  v = sin²x   und   v' = 2cosx

[notok] Hier hast Du die Ableitung $v'$ falsch ermittelt!

Du mußt ja hier mit der MBKettenregel arbeiten:

[mm] $\left[ \ \sin^2(x) \ \right] [/mm] ' \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\underbrace{\cos(x)}_{innere \ Abl.} [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm]


Fehler erkannt? [lichtaufgegangen] ??

Wie lautet nun Dein Ergebnis?

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Unbestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Sa 18.06.2005
Autor: Julinchen

Huhu,

ok, das stimmt da hab ich falsch abgeleitet.

Dann bekomme ich also: -cosx sin²x -[mm]\integral {-cosx * 2sinx cosx dx}[/mm]. Dafür kann ich -cosx sin²x +2[mm]\integral {cos²x * sinx dx}[/mm]
Nun setze ich z = sin x und erhalte dann -cosx sin²x +2[mm]\integral {cosx z dz}[/mm]

Nun scheinen mir die trigonometrischen Funktionen nicht als hilfreich, was hab ich denn nun schon wieder verkehrt gemacht??

Vielen Dank schonmal für die Geduld

LG
Jule

Bezug
                                        
Bezug
Unbestimmtes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Sa 18.06.2005
Autor: TranVanLuu

Hi!!

> Huhu,
>  
> ok, das stimmt da hab ich falsch abgeleitet.
>  
> Dann bekomme ich also: -cosx sin²x -[mm]\integral {-cosx * 2sinx cosx dx}[/mm].
> Dafür kann ich -cosx sin²x +2[mm]\integral {cos²x * sinx dx}[/mm]
>  
> Nun setze ich z = sin x und erhalte dann -cosx sin²x
> +2[mm]\integral {cosx z dz}[/mm]

Das kannst du sicherlich machen, aber was auf jetzt zum Ziel führt, ist, wie Loddar glaube ich schon erwähnt hatte, der trigonometrische Pythagoras!
das cos²x im Integral kannst du ja durch 1-sin²x ersetzen dann hast du da was stehen, was ja eigentlich noch auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen sollte, was im Moment nur weggelassen wurde....

Grüße

Tran

> Nun scheinen mir die trigonometrischen Funktionen nicht als
> hilfreich, was hab ich denn nun schon wieder verkehrt
> gemacht??
>  
> Vielen Dank schonmal für die Geduld
>  
> LG
>  Jule

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