Unbestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe als Aufgabe das unbestimmte Integral [mm] \integral {\sin³x dx}[/mm]. Lösen soll man es entweder über partielle Integration oder über Substitution.
Ich habe es nun über Substitution versucht und komme leider nicht auf das vom Professor vorgegebene Ergebnis.
Meine Schritt:
Ich setze z = sinx und z' = cosx
Dann kommt bei mir am Ende [mm] [mm] \bruch{1}{4}\sin^{4}x \* \bruch{1}{cosx}
[/mm]
Das Ergebnis meines Profs ist aber [mm] \bruch{1}{3}\cos^{3}x - cosx[/mm]
Ich habe die Aufgabe jetzt mehrmals gerechnet und stecke irgendwie fest!! Ich hoffe mir kann jemand helfen..
LG
Jule
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julinchen!
Bei diesem Integral mußt Du in drei Schritten vorgehen:
1. Schritt Partielle Integration
[mm] $\integral_{}^{}{\sin^3(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{}{\underbrace{\sin(x)}_{=u'}*\underbrace{\sin^2(x)}_{=v} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Das nun entstehende Integral wird mit gelöst mit dem ...
2. Schritt Substitution
Tipp: $t \ := \ [mm] \sin(x)$
[/mm]
Um nun auf das vorgegebene Ergebnis zu kommen, muß man noch etwas umformen und zusammenfassen. Dafür benötigst Du auch den ...
3. Schritt Umformen: trigonometrischer Pythagoras
[mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\sin^2(x) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \cos^2(x)$
[/mm]
Erhältst Du nun das gewünschte Ergebnis? Sonst melde Dich doch nochmal mit Deinen Zwischenergebnissen ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
dann komme ich auf u = -cosx und u' = sinx und v = sin²x und v' = 2cosx
Durch uv [mm]\integral {uv' dx}[/mm] ergibt sich -cosx * sin²x - [mm]\integral {-cosx * 2cosx dx}[/mm]
Das forme ich weiter um in -cosx * sin²x + 2 [mm]\integral {cos²x dx}[/mm]
So und nun kann ich doch nicht substituieren oder doch? Vielleicht bin ich ja auch vollkommen auf dem Holzweg mit meinen Formeln hab ich so langsam das Gefühl.
LG
Julia
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Huhu,
ok, das stimmt da hab ich falsch abgeleitet.
Dann bekomme ich also: -cosx sin²x -[mm]\integral {-cosx * 2sinx cosx dx}[/mm]. Dafür kann ich -cosx sin²x +2[mm]\integral {cos²x * sinx dx}[/mm]
Nun setze ich z = sin x und erhalte dann -cosx sin²x +2[mm]\integral {cosx z dz}[/mm]
Nun scheinen mir die trigonometrischen Funktionen nicht als hilfreich, was hab ich denn nun schon wieder verkehrt gemacht??
Vielen Dank schonmal für die Geduld
LG
Jule
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Hi!!
> Huhu,
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> ok, das stimmt da hab ich falsch abgeleitet.
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> Dann bekomme ich also: -cosx sin²x -[mm]\integral {-cosx * 2sinx cosx dx}[/mm].
> Dafür kann ich -cosx sin²x +2[mm]\integral {cos²x * sinx dx}[/mm]
>
> Nun setze ich z = sin x und erhalte dann -cosx sin²x
> +2[mm]\integral {cosx z dz}[/mm]
Das kannst du sicherlich machen, aber was auf jetzt zum Ziel führt, ist, wie Loddar glaube ich schon erwähnt hatte, der trigonometrische Pythagoras!
das cos²x im Integral kannst du ja durch 1-sin²x ersetzen dann hast du da was stehen, was ja eigentlich noch auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen sollte, was im Moment nur weggelassen wurde....
Grüße
Tran
> Nun scheinen mir die trigonometrischen Funktionen nicht als
> hilfreich, was hab ich denn nun schon wieder verkehrt
> gemacht??
>
> Vielen Dank schonmal für die Geduld
>
> LG
> Jule
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du die Ableitung $v'$ falsch ermittelt!
Kettenregel![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
??
