Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Fr 19.06.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale
existieren und bestimmen Sie im Falle der Existenz ihren Wert.
a) [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{x\ln x}dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}
[/mm]
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Hi ! Ich habe mich grade mit den Aufgaben beschäftigt und wollte meine Lösung mal kontrollieren lassen:
zu a)
f(x) = [mm] \bruch{1}{x\ln x}
[/mm]
F(x) = [mm] \ln (|\ln [/mm] x|)
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{x\ln x}dx} [/mm] = [mm] \limes_{c\rightarrow\ 1} \integral_{c}^{2}{\bruch{1}{x\ln x}dx} [/mm] = [mm] \limes_{c\rightarrow\ 1} \ln (|\ln [/mm] 2|) - [mm] \ln (|\ln [/mm] c|)
Für c [mm] \rightarrow [/mm] 1 ist [mm] \ln [/mm] (c) = 0 und [mm] \ln (\ln [/mm] c) nicht definiert, daher existiert der GW nicht und das uneigentliche Integral auch nicht.
zu b)
f(x) [mm] =\bruch{1}{\wurzel{|x|}} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{\wurzel{x}} , & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ \bruch{1}{\wurzel{-x}}, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
F(x) = [mm] 2x^{\bruch{1}{2}} [/mm] (für x < 0 und für x > 0 auch)
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx} [/mm] = [mm] \limes_{c\rightarrow 0} \integral_{-1}^{c}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx} [/mm] + [mm] \limes_{d\rightarrow 0} \integral_{d}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx} [/mm] = [mm] \limes_{c\rightarrow 0} (2c^{\bruch{1}{2}} -2*(-1)^{\bruch{1}{2}}) [/mm] + [mm] \limes_{d\rightarrow 0} [/mm] (2 [mm] -2d^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
Und auch der GW existiert nicht, da [mm] (-1)^{\bruch{1}{2}} [/mm] nicht definiert ist.
So, das wärs erstmal, hoffe es sind keine groben Schnitzer drinne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Fr 19.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale
> existieren und bestimmen Sie im Falle der Existenz ihren
> Wert.
>
> a) [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{x\ln x}dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm]
>
>
> Hi ! Ich habe mich grade mit den Aufgaben beschäftigt und
> wollte meine Lösung mal kontrollieren lassen:
>
> zu a)
>
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x\ln x}[/mm]
> F(x) = [mm]\ln (|\ln[/mm] x|)
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{x\ln x}dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{c\rightarrow\ 1} \integral_{c}^{2}{\bruch{1}{x\ln x}dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{c\rightarrow\ 1} \ln (|\ln[/mm] 2|) - [mm]\ln (|\ln[/mm] c|)
>
> Für c [mm]\rightarrow[/mm] 1 ist [mm]\ln[/mm] (c) = 0 und [mm]\ln (\ln[/mm] c) nicht
> definiert, daher existiert der GW nicht und das
> uneigentliche Integral auch nicht.
>
> zu b)
>
> f(x) [mm]=\bruch{1}{\wurzel{|x|}}[/mm] = [mm]\begin{cases} \bruch{1}{\wurzel{x}} , & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ \bruch{1}{\wurzel{-x}}, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
Hallo,
aufgrund der Achsensymmetrie gilt [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm] = 2[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm] = [mm] 2\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}}dx}
[/mm]
>
> F(x) = [mm]2x^{\bruch{1}{2}}[/mm] (für x < 0 und für x > 0 auch)
Der Grenzwert für [mm] 2\wurzel{x} [/mm] für x gegen Null existiert und ist Null. Also lässt sich auch das Integral berechnen.
Gruß Abakus
>
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{c\rightarrow 0} \integral_{-1}^{c}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{d\rightarrow 0} \integral_{d}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{|x|}}dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{c\rightarrow 0} (2c^{\bruch{1}{2}} -2*(-1)^{\bruch{1}{2}})[/mm]
> + [mm]\limes_{d\rightarrow 0}[/mm] (2 [mm]-2d^{\bruch{1}{2}})[/mm]
>
> Und auch der GW existiert nicht, da [mm](-1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> nicht definiert ist.
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> So, das wärs erstmal, hoffe es sind keine groben Schnitzer
> drinne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 19.06.2009 | | Autor: | unR34L |
Ahh ok danke, dann werd ich die b nochmal überarbeiten. Ist die a) wenigstens richtig ?
zur b) nochmal:
[mm] 2\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}}dx} [/mm] = 2 [mm] \limes_{c\rightarrow 0}\integral_{c}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}}dx} [/mm] = [mm] 2(\limes_{c\rightarrow 0}(2-2c^{\bruch{1}{2}})) [/mm] = 2*2 = 4
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Hallo unRE4L,
> Ahh ok danke, dann werd ich die b nochmal überarbeiten. Ist
> die a) wenigstens richtig ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> zur b) nochmal:
>
> [mm]2\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}}dx}[/mm] = 2
> [mm]\limes_{c\rightarrow 0}\integral_{c}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}}dx}[/mm]
> = [mm]2(\limes_{c\rightarrow 0}(2-2c^{\bruch{1}{2}}))[/mm] = 2*2 = 4
Bestens
LG
schachuzipus
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