Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie an, bei welchen Grenzen die Integrale uneigentlich sind und ob sie konvergent sind oder nicht; im Konvergenzfall berechnen Sie den Integralwert
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^-\bruch{4}{5} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx} [/mm] |
Frage 1: Was ist gemeint mit "in welchen Grenzen die Integrale uneigentlich sind?
Frage 2: Stimmt meine Rechnung?
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^-\bruch{4}{5} dx}= [-\bruch{5}{3}x^-\bruch{3}{5}]^\infty_0 \Rightarrow [/mm] keine Lösung
[mm] b)\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx} [/mm] = [mm] [\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x}]^\infty_0 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{-2sx*e^{-sx^2} + 2x*e^{-x^2}}{-2x} dx} [/mm] = [mm] [\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x}]^\infty_0 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{-2sx*e^{-sx^2} + 2x*e^{-x^2} dx}
[/mm]
Frage 3: Wenn ich das richtig gerechnet habe: Wie geht's jetzt weiter? Da muss ich substituieren oder?
Vielen Dank für alle Antworten!
|
|
| |
|
> Geben Sie an, bei welchen Grenzen die Integrale
> uneigentlich sind und ob sie konvergent sind oder nicht; im
> Konvergenzfall berechnen Sie den Integralwert
> a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{-\bruch{4}{5}} dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx}[/mm]
>
> Frage 1: Was ist gemeint mit "in welchen Grenzen die
> Integrale uneigentlich sind?
Hallo,
Grenzen sind uneigentlich, wenn sie [mm] \pm\infty [/mm] sind oder wenn die zu Integrierende Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.
> Frage 2: Stimmt meine Rechnung?
> a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{-\bruch{4}{5}} dx}= [-\bruch{5}{3}x^{-\bruch{3}{5}}]^\infty_0 [/mm]
Hallo,
hier ist Dir bei der Integriererei etwas ziemlich mißlungen. Vielleicht denkst Du nochmal daruber nach, was [mm] -\bruch{4}{5}+1 [/mm] ergibt ...
> [mm] [-\bruch{5}{3}x^{-\bruch{3}{5}}]^\infty_0 [/mm]
So würde ich das in Klausuren etc. lieber nicht schreiben, sondern fein mit dem limes.
> [mm] \Rightarrow
[/mm]
> keine Lösung
> [mm]b)\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx}[/mm]
> = [mm][\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x}]^\infty_0[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{-2sx*e^{-sx^2} + 2x*e^{-x^2}}{-2x} dx}[/mm]
> = [mm][\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x}]^\infty_0[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{-2sx*e^{-sx^2} + 2x*e^{-x^2} dx}[/mm]
> Frage 3: Wenn ich das richtig gerechnet habe:
Die Stammfunktion von [mm] 1/x^2 [/mm] ist -1/x und nicht -1/(2x).
Davon abgesehen sollte in dem letzten Deiner Integrale der Faktor x nicht mehr vorkommen.
> Wie geht's
> jetzt weiter? Da muss ich substituieren oder?
Die Hoffnung, durch Substitution eine "schöne" Stammfunktion zu finden, kannst Du Dir abschminken.
Eventuell weißt Du etwas über das Integral [mm] \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm [/mm] dt, was Du hier dann verwenden kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Geben Sie an, bei welchen Grenzen die Integrale uneigentlich sind und ob sie konvergent sind oder nicht; im Konvergenzfall berechnen Sie den Integralwert
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{-\bruch{4}{5}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx} [/mm] |
Vielen Dank schon mal, angela!
a) uneigentliche Grenzen sind [mm] \infty [/mm] und 0
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{-\bruch{4}{5}} dx}= \limes_{x\rightarrow\infty}(5*x^{\bruch{1}{5}})-\limes_{x\rightarrow0}(5*x^{\bruch{1}{5}}=\infty \rightarrow [/mm] nicht definiert
b) uneigentliche Grenzen sind ebenfalls [mm] \infty [/mm] und 0
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx}= [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x})-\integral_{0}^{\infty}{\bruch{-2sx*e^{-sx^2}+2x*e^{-x^2}}{-x} dx}=
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x})-\integral_{0}^{\infty}{-s*e^{-sx^2}+e^{-x^2} dx}=
[/mm]
So. Hier komme ich leider immer noch nicht weiter. Denn ich weiß leider nichts über das Integral
[mm] \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm [/mm] dt, was ich hier verwenden könnte
Gruß und Vielen Dank nochmal!
|
|
|
| |
|
> a) uneigentliche Grenzen sind [mm]\infty[/mm] und 0
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{-\bruch{4}{5}} dx}= \limes_{x\rightarrow\infty}(5*x^{\bruch{1}{5}})-\limes_{x\rightarrow0}(5*x^{\bruch{1}{5}}=\infty \rightarrow[/mm]
> nicht definiert
Hallo,
genau, das existiert nicht.
>
> b) uneigentliche Grenzen sind ebenfalls [mm]\infty[/mm] und 0
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx}=[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{\red{-2x}})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{\red{-2x}})-\integral_{0}^{\infty}{\bruch{-2sx*e^{-sx^2}+2x*e^{-x^2}}{-x} dx}=[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{-2x})-\integral_{0}^{\infty}{-s*e^{-sx^2}+e^{-x^2} dx}=[/mm]
Da ist ja immer noch die -2x im Nenner!
>
> So. Hier komme ich leider immer noch nicht weiter. Denn ich
> weiß leider nichts über das Integral
> [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm[/mm] dt, was ich
> hier verwenden könnte
Auch nicht über [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}\mathrm[/mm] dt oder [mm]\int_{0}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm[/mm] dt ?
(In meinem schlauen Buch wird das mithilfe der vorher eingeführten Gammafunktion berechnet.) - womit ich mich selbst auf eine Idee gebracht habe:
Hattet Ihr die Gammafunktion? [mm] \Gamma(\bruch{1}{2}) [/mm] berechnet? Wenn ja, dann könntest Du zuerst [mm] x^2 [/mm] substituieren und dann zielstrebig auf die Gammafunktionen zusteuern.
Noch eine andere Sache: Du solltest auch dem s Beachtung schenken und s>0, s<0, s=0 untersuchen.
Ich hoffe, meine Tips sind gut und halbwegs ausgegoren, hab' grad nicht so recht die Muße zum Durchrechnen und in alle Ecken denken.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Du bist wundervoll, angela. Gammafunktion war genau das Stichwort!
zumindest steht da in meinem Skript etwas von wegen [mm] \Gamma(\bruck{3}{4}=2\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^2} dx}=\wurzel{\pi}
[/mm]
b) uneigentliche Grenzen sind ebenfalls [mm]\infty[/mm] und 0, und weil du es grade erwähnt hast: s>0
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx}=
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\integral_{0}^{\infty}{\bruch{-2sx*e^{-sx^2}+2x*e^{-x^2}}{-x} dx}=
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\integral_{0}^{\infty}{-s*e^{-sx^2}+e^{-x^2} dx}=
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-s\integral_{0}^{\infty}{e^{-sx^2}+\bruch{1}{2}\wurzel{\pi}}=
[/mm]
Hmm. Dumme Frage, aber wie bringe ich [mm] e^{-sx^2} [/mm] in die gewünschte Form?
|
|
|
| |
|
Hallo derdickeduke,
> Du bist wundervoll, angela. Gammafunktion war genau das
> Stichwort!
> zumindest steht da in meinem Skript etwas von wegen
> [mm]\Gamma(\bruck{3}{4}=2\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^2} dx}=\wurzel{\pi}[/mm]
>
>
> b) uneigentliche Grenzen sind ebenfalls [mm]\infty[/mm] und 0, und
> weil du es grade erwähnt hast: s>0
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-sx^2} - e^{-x^2}}{x^2} dx}=[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\integral_{0}^{\infty}{\bruch{-2sx*e^{-sx^2}+2x*e^{-x^2}}{-x} dx}=[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\integral_{0}^{\infty}{-s*e^{-sx^2}+e^{-x^2} dx}=[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-\limes_{n\rightarrow0}(\bruch{e^-{sx^2}-e^{-x^2}}{{-x}})-s\integral_{0}^{\infty}{e^{-sx^2}+\bruch{1}{2}\wurzel{\pi}}=[/mm]
>
> Hmm. Dumme Frage, aber wie bringe ich [mm]e^{-sx^2}[/mm] in die
> gewünschte Form?
Hier heisst das Stichwort Substitution.
Substituiere demnach [mm]u=\wurzel{s}*x[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Also:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{se^{-sx^2}}=s\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2}}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Also:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{se^{-sx^2}}=s\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2}}?[/mm]
>
Hallo,
nein, es gibt da noch das nette Detail mit dem dx und du.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
[mm] \integral_{0}^{\infty}{se^{-sx^2}}dx=s\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2}}du
[/mm]
also, aber ändert das was am Ergebnis, bzw. was ändert es überhaupt? Ist [mm] s\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2}}du [/mm] auch [mm] s\wurzel{\pi} [/mm] oder wie kann ich dann weiterrechnen. Eine Rücksubstitution wäre dann ja nicht mehr möglich...
|
|
|
| |
|
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{se^{-sx^2}}dx=s\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2}}du[/mm]
Hallo,
wie bereits gesagt: Du substituierst nicht richtig!
Du hast jetzt zwar x ersetzt durch [mm] \wurzel{s}u, [/mm] aber Du hast das dx einfach durch du ersetzt, und das darfst Du nicht.
Du mußt bei der Substitution von Integralen mit Grenzen doch folgendes tun:
1. x ersetzen
2. aus den x-Grenzen u-Grenzen machen
3. dx ersetzen
1. [mm] u=\wurzel{s}x
[/mm]
2. also ändert sich hier an den Grenzen nichts
3. EDIT: EDIT: du= [mm] \wurzel{s} [/mm] dx
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ihr habts schon schwer mit mir...
Also nochmal:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{se^{-sx^2}}dx=s\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2}}\bruch{1}{2\wurzel{s}}du
[/mm]
[mm] =\bruch{s}{2\wurzel{s}}\integral_{0}^{\infty}{e^{-u^2}}du=\bruch{s}{2\wurzel{s}}\bruch{\wurzel{\pi}}{2}
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Mi 23.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser Zusammenfassen jetzt richtig: [mm] s/\wurzel(s)=\wurzel(s)
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Dann verstehe ich nur noch eines nicht ganz:
Wenn [mm] x=\wurzel{s}u, [/mm] warum ist dann [mm] dx=\bruch{1}{2\wurzel{s}}du. [/mm] Da habt ihr mich etwas abgehängt. Könnte das vielleicht nochmal jemand aufschlüsseln?
Vielen Dank für euer geduldiges Erklären!
|
|
|
| |
|
> Dann verstehe ich nur noch eines nicht ganz:
> Wenn [mm]x=\wurzel{s}u,[/mm] warum ist dann
> [mm]dx=\bruch{1}{2\wurzel{s}}du.[/mm] Da habt ihr mich etwas
> abgehängt. Könnte das vielleicht nochmal jemand
> aufschlüsseln?
> Vielen Dank für euer geduldiges Erklären!
Au wacka! Das ist ja entsetzlich!
Ich glaub' ich war noch nicht richtig bei Sinnen heute morgen...
Da gibt's nix zu verstehen. das ist falsch, grottenfalsch.
Wenn [mm] x=\wurzel{s}u,
[/mm]
dann ist [mm] dx=\wurzel{s}du [/mm] (nämlich [mm] \bruch{dx}{du}=\wurzel{s}).
[/mm]
Gruß v. Angela und Entschuldigung für die Verwirrung - geschah in bester Absicht...
|
|
|
| |
|
Vergeben und vergessen!
Vielen Dank auf jeden Fall für deine geduldigen Erklärungen. Auch an alle anderen, die mir bei der Aufgabe geholfen haben. Ich glaube ich hab's jetzt verstanden.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mi 23.09.2009 | | Autor: | strangelet |
Bei $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{se^{-sx^2}}dx [/mm] $, lautet, glaube ich, richtig die Substitution [mm] u=\wurzel{s}x [/mm] also [mm] du=\wurzel{s}dx [/mm] und [mm] dx=du/\wurzel{s}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Bei [mm]\integral_{0}^{\infty}{se^{-sx^2}}dx [/mm], lautet, glaube
> ich, richtig die Substitution [mm]u=\wurzel{s}x[/mm] also
Fürwahr!
Ist echt nicht mein Tag heute.
Ich glaub', ich geh ins Bett.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
