Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\infty}e^{-x^{4}} [/mm] dx
Konvergiert es oder nicht? |
Hallo,
ich habe versucht die Aufgabe folgendermaßen zu lösen:
[mm] \integral_{\lambda}^{0} e^{x^{-4}} [/mm] dx = [mm] -\bruch{1}{4}(e^{x^{-4}}) [/mm] mit den Grenzen 0 bis [mm] \lambda
[/mm]
=( [mm] -\bruch{1}{4} (e^{-\lambda^{4}})) [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{4}(e^{-0^{4}})
[/mm]
=( [mm] -\bruch{1}{4}e^{-\lamda{4}}) [/mm] + 1/4
[mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty} e^{-x^{4}}dx [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{4}e^{-\lambda^{4}})+ [/mm] 1/4 =1
Stimmt das Integral überhaupt? Und ich bin mir nicht sicher , ob das gegen 1 konvergiert. Könntet ihr mir das genauer erklären? Worauf muss ich generell bei uneigentlichen Integralen achten?
Gruß
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\integral_{\infty}^{0} e^{x^{-4}}[/mm] dx
> Konvergiert es oder nicht?
> Hallo,
>
> ich habe versucht die Aufgabe folgendermaßen zu lösen:
> [mm]\integral_{\lambda}^{0} e^{x^{-4}}[/mm] dx =
> [mm]-\bruch{1}{4}(e^{x^{-4}})[/mm] mit den Grenzen 0 bis [mm]\lambda[/mm]
> =( [mm]-\bruch{1}{4} (e^{-\lambda^{4}}))[/mm] -
> [mm](-\bruch{1}{4}(e^{-0^{4}})[/mm]
> =( [mm]-\bruch{1}{4}e^{-\lamda{4}})[/mm] + 1/4
> [mm]\limes_{\lambda\rightarrow\infty} e^{-x^{4}}dx[/mm] =
> [mm](-\bruch{1}{4}e^{-\lambda^{4}})+[/mm] 1/4 =1
>
Sag mal: hast du eigentlich jemals schon einen Blick in ein Lehrbuch oder Skript geworfen? Also ganz ehrlich: mit der Angabe deinerseits, dass du angeblich Mathe studierst zieht es einem hier die Schuhe aus.
> Stimmt das Integral überhaupt?
Natürlich nicht, denn es sollte sich bereits in der Schulzeit herumgesprochen haben, dass dieser Integrand keine geschlossen darstellbare Stammfunktion besitzt. Und ganz nebenbei sind die Schranken blödsinnig gesetzt. Soll das von 0 bis [mm] \infty [/mm] gehen? Dann schreibe es auch richtig.
> Und ich bin mir nicht
> sicher , ob das gegen 1 konvergiert. Könntet ihr mir das
> genauer erklären? Worauf muss ich generell bei
> uneigentlichen Integralen achten?
Das erste Problem ist hier nicht das uneigentliche Integral, sondern deine völlig falsche Vorstellung von der Integralrechnung. Beim Braten eines Rindersteaks ist es ratsam, das ganze so lange auf einer Seite anzubraten, bis es oben schwitzt und dann dreht man es um. Das ist allerdings eine vergleichsweise einfache Problematik und deine Erwartung, alles über uneigentliche Integrale mal eben in einem Thread klären zu können, die ist vorsichtig gesagt naiv. Das geht eben nicht so einfach wie bei einem Kochrezept. Kauf dir also ein anständiges Analysis 1-Lehrbuch und arbeite es durch, das ist, worauf du generell achten solltest.
Um dir hier weiterzuhelfen, sollte man mehr über deinen Background wissen. Eine Möglichkeit wäre mal die, dass du dir das Verhalten des Integranden für x->0 und für [mm] x->\infty [/mm] mal näher betrachtest und daraus deine Schlussfolgerungen ziehst. So viel sei gesagt: das Integral ist divergent.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Schranken sollen natürlich von 0 bis unendlich gehen, ich habe mich leider vertippt. Den ganzen Text hättest du dir sparen können, vor allem die falsche Antwort, dass das Integral divergiert. Ich habe die Musterlösung zu der Aufgabe, nur wollte ich wissen, ob die Art wie ich das gemacht habe auch funktioniert. Du brauchst hier auch nicht den Oberschlauen zu spielen, antworte doch einfach nicht, ich habe besseres zu tun als mit solchen Leuten wie dir zu diskutieren. Kommentiere bitte andere Threads, ich habe keine Zeit für so etwas.
Tschüss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> die Schranken sollen natürlich von 0 bis unendlich gehen,
> ich habe mich leider vertippt. Den ganzen Text hättest du
> dir sparen können, vor allem die falsche Antwort, dass das
> Integral divergiert. Ich habe die Musterlösung zu der
> Aufgabe,
Zu welcher Aufgabe? Zu der von dir gestellten möglicherweise nicht. Vielleicht hast du dich ja nicht nur bei den Grenzen, sondern auch beim Funktionsterm selbst vertippt.
Für x gegen unendlich geht [mm] $x^{-4}$ [/mm] gegen Null.
somit ist der Funktionswert von $ [mm] e^{x^{-4}}$ [/mm] für größere x "so ungefähr" [mm] $x^0$ [/mm] und damit nahezu konstant 1 (genaugenommen sogar immer ein weing größer als 1). Damit wird die Fläche unter dem Graphen im angegebenen Intervall garantiert unendlich groß.
Gruß Abakus
> nur wollte ich wissen, ob die Art wie ich das
> gemacht habe auch funktioniert. Du brauchst hier auch nicht
> den Oberschlauen zu spielen, antworte doch einfach nicht,
> ich habe besseres zu tun als mit solchen Leuten wie dir zu
> diskutieren. Kommentiere bitte andere Threads, ich habe
> keine Zeit für so etwas.
>
> Tschüss
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> die Schranken sollen natürlich von 0 bis unendlich gehen,
> ich habe mich leider vertippt. Den ganzen Text hättest du
> dir sparen können, vor allem die falsche Antwort, dass das
> Integral divergiert.
Hi,
Diophant hat aber Recht. Dein aufgeschriebenes Integral ist in der Tat divergent.
Du lässt uns hier über Aufgaben diskutieren, die du falsch hinschreibst. Ipad hin oder her. Das geht einfach nicht.
Einfache Überprüfungen hätten dir schnell gezeigt, dass auch die Stammfunktion so nicht stimmen kann. Ich habe den Eindruck, du machst alles hier mit Zeitdruck. Ich würde mal sagen: nicht gerade eine effektive Methode...
Zu der Aufgabe:
Ich nehme an, der Integrand soll lauten: [mm] \exp(-x^4)
[/mm]
Du kannst das Integral sicherlich abschätzen. Vielleicht hilft auch eine Aufteilung in zwei Integfrale. Und zwar für Intevralle (0,1) und [mm] (1,\infty).
[/mm]
> Ich habe die Musterlösung zu der
> Aufgabe, nur wollte ich wissen, ob die Art wie ich das
> gemacht habe auch funktioniert. Du brauchst hier auch nicht
> den Oberschlauen zu spielen, antworte doch einfach nicht,
> ich habe besseres zu tun als mit solchen Leuten wie dir zu
> diskutieren. Kommentiere bitte andere Threads, ich habe
> keine Zeit für so etwas.
>
> Tschüss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{\infty}^{0} e^{x^{-4}}[/mm] dx
> Konvergiert es oder nicht?
> Hallo,
>
> ich habe versucht die Aufgabe folgendermaßen zu lösen:
> [mm]\integral_{\lambda}^{0} e^{x^{-4}}[/mm] dx =
> [mm]-\bruch{1}{4}(e^{x^{-4}})[/mm] mit den Grenzen 0 bis [mm]\lambda[/mm]
> =( [mm]-\bruch{1}{4} (e^{-\lambda^{4}}))[/mm] -
> [mm](-\bruch{1}{4}(e^{-0^{4}})[/mm]
> =( [mm]-\bruch{1}{4}e^{-\lamda{4}})[/mm] + 1/4
> [mm]\limes_{\lambda\rightarrow\infty} e^{-x^{4}}dx[/mm] =
> [mm](-\bruch{1}{4}e^{-\lambda^{4}})+[/mm] 1/4 =1
>
> Stimmt das Integral überhaupt? Und ich bin mir nicht
> sicher , ob das gegen 1 konvergiert. Könntet ihr mir das
> genauer erklären? Worauf muss ich generell bei
> uneigentlichen Integralen achten?
Hallo,
abgesehen von den uneigentlichen Problemen: Hast du eigentlich die richtige Stammfunktion gebildet?
Das Ableiten deiner angeblichen Stammfunktion [mm]F(x)=-\bruch{1}{4}(e^{x^{-4}})[/mm] nach Kettenregel müsste etwas liefern, in dem auch die innere Ableitung [mm]-4*x^{-5}[/mm] als Faktor vorkommen sollte.
Gruß Abakus
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
genau, da war ich mir nicht sicher. Ist die StMmfunktion dann nicht [mm] -4x^3*e^-x^4 [/mm] ?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> genau, da war ich mir nicht sicher. Ist die StMmfunktion
> dann nicht [mm]-4x^3*e^-x^4[/mm] ?
> Gruß
Hallo?
Vorhin war dein Exponent noch [mm] $x^{-4}$, [/mm] jetzt ist er angeblich [mm] $-x^4$?
[/mm]
Da weißt hoffentlich, dass das etwas grundlegend Anderes ist...
|
|
|
| |
|
Hallo,
das tut mir wirklich sehr Leid,e^ [mm] -x^4 [/mm] muss das Ganze heißen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> das tut mir wirklich sehr Leid,e^ [mm]-x^4[/mm] muss das Ganze
> heißen.
>
> Gruß
Hallo,
da bereits das Integral von [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] im angegebenen Intervall existiert (Glockenkurve von Gauß), kannst du das vieleicht als Hilfsmittel zur Abschätzung verwenden.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hallo,
wäre es vielleicht richtig, wenn ich die Stammfunktion davon bilde, die wäre ja [mm] -4x^3*e^{-x^4} [/mm] in den Grenzen 0 bis Lambda. Dann habe ich [mm] -4(\lambda^{3})*e^{-\lambda^{4}}Wenn [/mm] man lambda nun nach unendlich schickt, kommt doch 1 raus oder nicht?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
>
> wäre es vielleicht richtig, wenn ich die Stammfunktion
> davon bilde, die wäre ja [mm]-4x^3*e^{-x^4}[/mm] in den Grenzen 0
> bis Lambda. Dann habe ich
> [mm]-4(\lambda^{3})*e^{-\lambda^{4}}Wenn[/mm] man lambda nun nach
> unendlich schickt, kommt doch 1 raus oder nicht?
- Es gibt hier keine geschlossen darstellbare Stammfunktion, dieser Versuch ist also völlig nutzlos und insbesondere falsch (was alles schon gesagt wurde).
- Es geht bei der Aufgabe nicht darum, einen konkreten Wert zu berechnen, sondern zu untersuchen, ob ein solcher (endlicher) Wert existiert oder nicht.
- Man muss sich überlegen, weshalb der Integrand integrierbar ist, dann muss man weitere Überlegungen anstellen. Bspw. die, ein bekannt konvergentes Integral als Vergleich heranzuziehen, so wie es ebenfalls schon vorgeschlagen wurde.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Fr 28.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Füt t [mm] \ge [/mm] 0 ist [mm] e^t=1+t+\bruch{1}{2}t^2+.... \ge [/mm] t.
Damit ist [mm] e^{x^4} \ge x^4.
[/mm]
Dass das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^4} dx} [/mm] konvergiert, ist Dir sicherlich bekannt.
FRED
|
|
|
|
