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Uneigentliches Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Mo 30.05.2016
Autor: Lars.P

Aufgabe
Mit Hilfe der Aussagen des Majorantenkriterium und Minorantenkriterium für Integrale sollen Sie entscheiden über die Konvergenz folgender uneigentlicher Integrale.
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{cos(x)}{x} dx} [/mm]
c) [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{log(x)} dx} [/mm]

a) ich habe [mm] e^{-x^{2}} \le [/mm] e^_{-x} gewählt.
und dann [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x} dx} [/mm] betrachtet.

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{e^{-x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty}[-e^{-x}]_{0}^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}-e^{-b}+e^{0}=1 [/mm]
deshalb ist [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] konvergent.

b) hab ich versucht nach mit [mm] \bruch{cos(x)}{x}\le \bruch{1}{x} [/mm] abzuschätzen hatte dann aber Probleme dann mit dem einsetzten der ,,0''.
Hab dann überlegt nach unten abzuschätzen mit [mm] cos(x)\le\bruch{cos(x)}{x}. [/mm] Dieser weg brachte mir nur die aussage dass cos(x) konvergent ist. Aber daraus kann ich ja nichts folgen.

c)
abschätzung nach oben [mm] \bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}. [/mm]

[mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{2}^{n}{\bruch{1}{x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} [ln(x)]_{2}^{n}=ln(n)-ln(2)=\infty [/mm]
also divergent


        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Mo 30.05.2016
Autor: fred97


> Mit Hilfe der Aussagen des Majorantenkriterium und
> Minorantenkriterium für Integrale sollen Sie entscheiden
> über die Konvergenz folgender uneigentlicher Integrale.
>  a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
>  b)
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{cos(x)}{x} dx}[/mm]
>  c)
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{log(x)} dx}[/mm]
>  a) ich habe
> [mm]e^{-x^{2}} \le[/mm] e^_{-x} gewählt.
>  und dann [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x} dx}[/mm] betrachtet.
>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{e^{-x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty}[-e^{-x}]_{0}^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}-e^{-b}+e^{0}=1[/mm]
> deshalb ist [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> konvergent.
>  




O.K.



> b) hab ich versucht nach mit [mm]\bruch{cos(x)}{x}\le \bruch{1}{x}[/mm]
> abzuschätzen hatte dann aber Probleme dann mit dem
> einsetzten der ,,0''.
> Hab dann überlegt nach unten abzuschätzen mit
> [mm]cos(x)\le\bruch{cos(x)}{x}.[/mm] Dieser weg brachte mir nur die
> aussage dass cos(x) konvergent ist. Aber daraus kann ich ja
> nichts folgen.

cos (x) [mm] \ge [/mm] cos (1) für x zwischen 0 und 1.



>  
> c)
> abschätzung nach oben [mm]\bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}.[/mm]

wo hast du das denn her ? stimmen tut nicht.

fred

>  
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{2}^{n}{\bruch{1}{x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} [ln(x)]_{2}^{n}=ln(n)-ln(2)=\infty[/mm]
> also divergent
>  


Bezug
                
Bezug
Uneigentliches Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mo 30.05.2016
Autor: Lars.P

Bei $ [mm] \bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}. [/mm] $ habe ich [mm] \le [/mm] anstatt [mm] \ge [/mm] geschrieben. Da habe ich mich vertan.
es Müsste
[mm] \bruch{1}{log(x)}\ge\bruch{1}{x} [/mm] sein sonst würde ja meine Folgerung auch kein Sinn ergeben. wäre ja das Minorantenkriterium.

Bei b)  versteh ich deine Aussage nicht. Meinst du jetzt [mm] \bruch{cos(x)}{x}\ge [/mm] cos(x) oder meinst du [mm] cos(x)\ge\bruch{cos(x)}{x}. [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Mo 30.05.2016
Autor: fred97


> Bei [mm]\bruch{1}{log(x)}\le\bruch{1}{x}.[/mm] habe ich [mm]\le[/mm] anstatt
> [mm]\ge[/mm] geschrieben. Da habe ich mich vertan.
> es Müsste
> [mm]\bruch{1}{log(x)}\ge\bruch{1}{x}[/mm] sein sonst würde ja meine
> Folgerung auch kein Sinn ergeben. wäre ja das
> Minorantenkriterium.

dann ist es o.k.


>  
> Bei b)  versteh ich deine Aussage nicht. Meinst du jetzt
> [mm]\bruch{cos(x)}{x}\ge[/mm] cos(x) oder meinst du
> [mm]cos(x)\ge\bruch{cos(x)}{x}.[/mm]
>  

multipliziere die von mir angegebene Ungleichung mit 1/x .....


fred


Bezug
                                
Bezug
Uneigentliches Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Mo 30.05.2016
Autor: Lars.P

das wäre dann ja [mm] \bruch{cos(x)}{x}\ge \bruch{cos(1)}{x}. [/mm]
wenn ich danach geh würde ich ja [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{cos(1)}{x} dx}betrachten. [/mm] Ich würde als erstes [mm] cos(1)\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] machen und dass würde ja zu [mm] cos(1)*\limes_{n\rightarrow 1}\integral_{0}^{n}{\bruch{1}{x} dx}=cos(1)\limes_{n\rightarrow 1}[ln(x)]_{0}^{n}= cos(1)*\limes_{n\rightarrow 1}ln(n)-ln(0)= [/mm] dann hätte ich dort ein problem da Ln(0) nicht definiert ist.


Bezug
                                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Mo 30.05.2016
Autor: Stala

Darum musst du ja auch nicht den Grenzwert gegen 1, sondern den gegen 0 betrachten.
Da strebt der Logarithmus nämlich ins Unendliche...

Bezug
                                                
Bezug
Uneigentliches Integral: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mo 30.05.2016
Autor: Lars.P

Also: $ [mm] cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}\integral_{n}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=cos(1)\limes_{n\rightarrow 0}[ln(x)]_{n}^{1}= cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}ln(1)-ln(n)= \infty$ [/mm] und somit wäre es divergent


Bezug
                                                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 Mo 30.05.2016
Autor: fred97


>  Also: [mm]cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}\integral_{n}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=cos(1)\limes_{n\rightarrow 0}[ln(x)]_{n}^{1}= cos(1)\cdot{}\limes_{n\rightarrow 0}ln(1)-ln(n)= \infty[/mm]
> und somit wäre es divergent

so ist es

fred


>  


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